Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（t，0），B（t+，0），對(duì)于線段AB和點(diǎn)P給出如下定義：當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，稱點(diǎn)P為線段AB的“直角視點(diǎn)”．

（1）若t＝﹣，在點(diǎn)C（0，），D（﹣1，），E（，）中，能夠成為線段AB“直角視點(diǎn)”的是　 　．

（2）直線MN分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、N，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，0），∠OMN＝30°．

①線段AB的“直角視點(diǎn)”P在直線MN上，且∠ABP＝60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②在①的條件下，記Q為直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△QAB的周長(zhǎng)存在最小值，試求△QAB周長(zhǎng)的最小值　 　．

③若線段AB的所有“直角視點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）C、E；（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；② ③

【解析】

（1）根據(jù)給定的t值找出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用解三角形的方法討論C、D、E點(diǎn)是否滿足“直角視點(diǎn)”的條件即可得出結(jié)論；
（2）①分兩種情況：當(dāng)MN與x軸的夾角∠OMN在x軸上方時(shí)和當(dāng) MN與x軸的夾角∠OMN在x軸下方時(shí)，分別計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

②作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接BA'交MN于Q'，延長(zhǎng)AP交AB于H，H與G重合，連接AA'，則AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，進(jìn)行計(jì)算即可.
③分別計(jì)算B點(diǎn)與O重合，點(diǎn)A與M重合時(shí)t的值，從而得出線段AB的所有“直角視點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍．

解：（1）若 則

則

∴

∵點(diǎn)C（0，），D（﹣1，），E（，）

由勾股定理得：

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴點(diǎn)C是線段AB的“直角視點(diǎn)”；

同理：

∴

∴

∴點(diǎn)D不是線段AB的“直角視點(diǎn)”；

同理：

∴AE2+BE2＝8＝AB2，

∴∠AEB＝90°，

∴點(diǎn)E是線段AB的“直角視點(diǎn)”；

故答案為：C、E；

（2）①分兩種情況：當(dāng)MN與x軸的夾角∠OMN在x軸上方時(shí)，

∵點(diǎn)P是線段AB的“直角視點(diǎn)”，

∴∠APB＝90°，

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，

∵∠ABP＝60°，

∴∠PAB＝30°，

∴

如圖1所示：作PG⊥AB于G，

則

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ,∠OMN＝30°，

∴

∴

∴P

當(dāng)MN與x軸的夾角∠OMN在x軸下方時(shí)，同理得：P

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或;

②∵，若△QAB的周長(zhǎng)最小，則AQ+BQ的值最小，

作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接BA'交MN于Q'，延長(zhǎng)AP交AB于H，H與G重合，連接AA'，

則AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，

∵∠OMN＝30°，

∴∠MAA'＝60°，

∵

∴

由勾股定理得：

∴△QAB最小值為

故答案為：

③如圖3所示：

當(dāng)B點(diǎn)與O重合，則

∴

當(dāng)A與M重合時(shí)，

∴若線段AB的所有“直角視點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，t的取值范圍是

故答案為：