Question

已知拋物線y=ax²+bx+c過第一、二、四象限（不經過原點）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）確定a，b，c的符號；
（2）若∠CAO=45°，∠CBO=30°，求證：ac=

3

3

；
（3）若∠CAO=45°，∠CBO=30°，且AB=3-

3

，求拋物線的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：（1）根據二次函數(shù)與系數(shù)a、b、c的關系求解；
（2）先確定C點坐標得到OC=c，在Rt△OAC中，由于∠CAO=45°，根據等腰直角三角形的性質得OA=OC=c，則A點坐標為（c，0），在Rt△BOC中，由于∠CBO=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到OB=

3

OC=

3

c，則B點坐標為（

3

c，0），然后利用交點式得到拋物線解析式為y=a（x-c）（x-

3

c），展開得y=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²，與原解析式對比即可得到

3

ac²=c，所以ac=

3

3

；
（3）由（2）得到A點坐標為（c，0），B點坐標為（

3

c，0），則

3

c-c=3-

3

，解得c=

3

，再利用ac=

3

3

得到a=

1

3

，然后把a和c的值代入y=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²中化簡即可．

解答：（1）解：∵拋物線y=ax²+bx+c過第一、二、四象限（不經過原點），
∴a＞0，b＜0，c＞0；
（2）證明：C點坐標為（0，c），
在Rt△OAC中，∵∠CAO=45°，
∴OA=OC=c，
∴A點坐標為（c，0），
在Rt△BOC中，∠CBO=30°，
∴OB=

3

OC=

3

c，
∴B點坐標為（

3

c，0），
∴拋物線解析式為y=a（x-c）（x-

3

c）
=ax²-（1+

3

）ac+

3

ac²，
∴

3

ac²=c，
∴ac=

3

3

；
（3）解：∵A點坐標為（c，0），B點坐標為（

3

c，0），
∴

3

c-c=3-

3

，
∴c=

3

，
而ac=

3

3

，
∴a=

1

3

，
∴y=

1

3

x²-（1+

3

）•

3

3

x+

3

=

1

3

x²-

3+ 3

3

•x+

3

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．也考查了二次函數(shù)的性質．