Question

如圖，△ABC中，點P是邊AC上的一個動點，過P作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：PE=PF；
（2）當點P在邊AC上運動時，四邊形BCFE可能是菱形嗎？說明理由；
（3）若AC邊上存在點P，使四邊形AECF是正方形，且

AP

BC

=

3

2

時，求∠A的大小．

Answer 1

考點：正方形的性質,等腰三角形的判定與性質,菱形的判定

專題：

分析：（1）根據角平分線的性質以及平行四邊形的性質可證明PE=PC，PF=PC，從而得到PE=PF；
（2）假設四邊形BCFE是菱形，再證明與在同一平面內過同一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；
（3）由正方形的對角線相等且互相垂直，可知AC⊥EF，AC=2AP．又EF∥BC，得出AC⊥BC，在直角△ABC中，根據銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值求出∠A的大小．

解答：（1）證明：∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；
（2）四邊形BCFE不可能是菱形，
證明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△BFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．
（3）解：若四邊形AECF是正方形，則AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BAC=30°．

點評：此題綜合考查了平行線的性質，等腰三角形的判定以及菱形的判定，正方形的性質，銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值等知識點，涉及面較廣，在解答此類題目時要注意角的運用，一般通過角判定一些三角形，多邊形的形狀．