Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分線；以BC為直徑的⊙O交BD于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接DF，

（1）補(bǔ)全圖中圖形；(要求：清晰、準(zhǔn)確，標(biāo)出相應(yīng)字母，不寫作法，不必保留作圖痕跡)

（2）DC=DF；

（3）若AC=8，BC=6，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）CF．

【解析】

（1）由題意畫出圖形；

（2）通過(guò)證明△BEF≌△BEC，可得EF=CE，可得BD是CF的垂直平分線，即DF=CD；

（3）由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，CD的長(zhǎng)，BD的長(zhǎng)，由三角形面積公式可求CE的長(zhǎng)，即可求CF的長(zhǎng)．

（1）如圖，

（2）∵BC是直徑，

∴∠CEB=90°．

∵BD平分∠CBF，

∴∠FBD=∠CBD，且BD=BD，∠CEB=∠BEF=90°，

∴△BEF≌△BEC(ASA)，

∴EF=CE，且BD⊥CF，

∴BD是CF的垂直平分線，

∴DF=CD

（3）∵AC=8，BC=6，

∴AB10．

∵△BEF≌△BEC，

∴BF=BC=6，

∴AF=4，

∵BD是CF的垂直平分線，即點(diǎn)C、點(diǎn)F關(guān)于直線BD對(duì)稱，

∴∠BFD=∠BCD=90°，

∴∠AFD=90°，

在Rt△AFD中，AD2=AF2+DF2，

∴(8﹣CD)2=16+CD2，

∴CD=3，

∴BD3

∵S△BCDBC×CDBD×CE，

∴3×6=3CE，

∴CE，

∴CF=2CE．