【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+4交x軸于點A、B,交y軸于點C,連結(jié)AC,BC,D是線段OB上一動點,以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF,連結(jié)BF,交DE于點P.
(1)試判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)求證:BF⊥AB.
(3)當點D從點O沿x軸正方向移動到點B時,點E所走過的路線長為______;
(4)探究當點D在何處時,△FBC是等腰三角形,并求出相應的BF的長.
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形;理由見解析;(2)證明見解析;(3);(4)AD=CD時,BF=4;AC=AD時,BF=4;AC=BC時,BF=8.
【解析】
(1)根據(jù)二次函數(shù)與坐標軸的交點的求法求出A、B、C,再求出OA、OB、OC,然后根據(jù)等腰直角三角形的判定解答;
(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì),求出AC=BC,CD=CF,∠ACD=∠BCF,然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCF全等,根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CBF=∠CAD=45°,然后求出∠ABF=90°,再根據(jù)垂直的定義證明即可;
(3)過點E作EH⊥x軸于H,連接BE,求出∠OCD=∠HDE,然后利用“角角邊”證明△OCD和△HDE全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EH=OD,OC=DH,然后求出△BEH是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出BE,從而判斷出點E走過的路線長為BC的長度,然后求解即可;
(4)根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=BF,利用勾股定理列式求出AC,然后分AD=CD,AC=AD,AC=BC三種情況討論求解得到AD,即為FB的長.
(1)解:令x=0,得y=4,
∴C(0,4),
令y=0,則﹣x2+4=0,
解得:x1=4,x2=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(4,0),
∴OA=OB=OC=4,
∴△ABC是等腰直角三角形;
(2)證明:如圖,
∵△ABC是等腰直角三角形,CDEF是正方形,
∴AC=BC,CD=CF,∠ACD=∠BCF,
在△ACD和△BCF中,,
∴△ACD≌△BCF(SAS),
∴∠CBF=∠CAD=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,
∴BF⊥AB;
(3)如圖,過點E作EH⊥x軸于H,連接BE,
∵∠OCD+∠ODC=∠HDE+∠ODC=90°,
∴∠OCD=∠HDE,
在△OCD和△HDE中,,
∴△OCD≌△HDE(AAS),
∴EH=OD,OC=DH,
∵OD+BD=OB=OC,
BH+BD=DH,
∴OD=BH=EH,
∴△BEH是等腰直角三角形,
∴BE=EH,
∵點D從點O沿x軸正方向移動到點B,
∴點E所走過的路線長為為BC的長度,是4;
故答案為:4.
(4)∵△ACD≌△BCF,
∴AD=BF,
由勾股定理得,AC===4,
①若AD=CD,則點O、D重合,BF=AO=4,
②若AC=AD,則BF=AD=4,
③若AC=BC,則BF=AD=AB=8,
綜上所述,BF=4或4或8.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為H,連結(jié)AC,過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G,連結(jié)AE交CD于點F,且EG=FG,連結(jié)CE.
(1)求證:△ECF∽△GCE;
(2)求證:EG是⊙O的切線;
(3)延長AB交GE的延長線于點M,若tanG=,AH=,求EM的值.
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【題目】如圖,矩形中,,,點、分別在邊,上,且,連接,將對折,點落在直線上的點處,得折痕;將對折,點落在直線上的點處,得折痕,當,分別在邊,上時.若令的面積為,的長度為,則關(guān)于的函數(shù)解析式是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】在同一平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx﹣2k和二次函數(shù)y=﹣kx2+2x﹣4(k是常數(shù)且k≠0)的圖象可能是( 。
A. B.
C. D.
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【題目】草莓是云南多地盛產(chǎn)的一種水果,今年某水果銷售店在草莓銷售旺季,試銷售成本為每千克元的草莓,規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價,也不高于每千克元,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量(千克)與銷售單價(元)符合一次函數(shù)關(guān)系,如圖是與的函數(shù)關(guān)系圖象.
求與的函數(shù)解析式(也稱關(guān)系式);
設(shè)該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤為元,求的最大值.
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【題目】計算或解方程:
(1)計算下列各題
①(π﹣3.14)0+(﹣)2﹣3﹣2;
②(3a﹣1)2﹣(3a﹣2)(3a+4);
③(12a5b7﹣8a4b6﹣4a4b2)÷(﹣2a2b)2;
(2)解分式方程:.
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【題目】我們知道:x2﹣6x=(x2﹣6x+9)﹣9=(x﹣3)2﹣9;﹣x2+10=﹣(x2﹣10x+25)+25=﹣(x﹣5)2+25,這一種方法稱為配方法,利用配方法請解以下各題:
(1)按上面材料提示的方法填空:a2﹣4a= = .﹣a2+12a= = .
(2)探究:當a取不同的實數(shù)時在得到的代數(shù)式a2﹣4a的值中是否存在最小值?請說明理由.
(3)應用:如圖.已知線段AB=6,M是AB上的一個動點,設(shè)AM=x,以AM為一邊作正方形AMND,再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN.問:當點M在AB上運動時,長方形MBCN的面積是否存在最大值?若存在,請求出這個最大值;否則請說明理由.
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【題目】四邊形ABCD為正方形,點E為線段AC上一點,連接DE,過點E作EF⊥DE,交射線BC于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.
(1)如圖1,求證:矩形DEFG是正方形;
(2)若AB=2,CE=,求CG的長度;
(3)當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時,直接寫出∠EFC的度數(shù).
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【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點O為AD上一動點(4<OA<8),以O(shè)為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點M,連接OM,過點M作⊙O的切線交邊BC于N.
(1)圖中是否存在與△ODM相似的三角形,若存在,請找出并給予證明;
(2)設(shè)DM=x,OA=R,求R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在動點O逐漸向點D運動(OA逐漸增大)的過程中,△CMN的周長如何變化?說明理由.
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