Question

2．已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．
問題1：如圖，P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？

Answer 1

分析 四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PB=x，可得方程x²+3²+（2-x）²+1=（2$\sqrt{2}$）²，由判別式△＜0，可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ，DC的長不可能相等．

解答 解：對角線PQ與DC不能相等，理由如下：
過點D作DE⊥BC于點E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，
∴四邊形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2$\sqrt{2}$，
∵四邊形PCQD是平行四邊形，
若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，
設(shè)PB=x，則AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD²+PC²=DC²，即x²+3²+（2-x）²+1=（2$\sqrt{2}$）²，
化簡得x²-2x+3=0，
∵△=（-2）²-4×1×3=-8＜0，
∴此方程無實數(shù)根，
∴即對角線PQ與DC不能相等．

點評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．