Question

14．如圖，△ABC，△ADE均為等邊三角形，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AD⊥BC；②EF=DF；③BE=BD；④BE∥AC．其中正確的有（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AC，根據(jù)三線合一定理得出①正確；求出△BAE≌△CAD，推出BE=DC=BD，∠DAC=∠BAE=30°，求出∠BAE=∠BAD，根據(jù)三線合一得出EF=DF．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∴∠ADC=90°，
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠DAC=∠BAE，BE=DC，
∵BD=DC，
∴BE=BD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAE=30°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠BAD=30°=∠BAE，
∵AE=AD，
∴EF=DF（三線合一），
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ABE=∠C=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴BE∥AC，
即①②③④都正確，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．