Question

我們把能夠平分一個(gè)圖形面積的直線叫“好線”，如圖1．

問(wèn)題情境：如圖2，M是圓O內(nèi)的一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出兩條“好線”（要求其中一條“好線”必須過(guò)點(diǎn)M），使它們將圓O的面積四等分．
小明的思路是：如圖3，過(guò)點(diǎn)M、O畫一條“好線”，過(guò)O作OM的垂線，即為另一條“好線”．所以這兩條“好線”將的圓O的面積四等分．
問(wèn)題遷移：
（1）請(qǐng)?jiān)趫D4中作出兩條“好線”，使它們將?ABCD的面積四等分；
（2）如圖5，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D5中作出兩條“好線”（要求其中一條“好線”必須過(guò)點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分；
（3）如圖6，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊BC一點(diǎn)，請(qǐng)作出“好線”PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,三角形的面積

專題：

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，直線AC，BD是角平分線所在的直線，可得AO=CO，BO=DO，所以S_△AOB=S_△BOC=S_△OCD=S_△AOD，即可得出AC，BD將?ABCD的面積四等分，
（2）連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分．
（3）當(dāng)BQ=CD=時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分．

解答：解：（1）如圖4，直線AC，BD將?ABCD的面積四等分，

理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，直線AC，BD是角平分線所在的直線，
∴AO=CO，BO=DO，
∴S_△AOB=S_△BOC=S_△OCD=S_△AOD，
∴AC，BD將?ABCD的面積四等分，
（2）如圖5，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分．

理由如下：
∵點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心．
∴AP=CQ，EB=DF．
在△AOP和△EOB中，
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，
∴∠AOP=∠BOE．
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，
∴△AOP≌△EOB（ASA）．
∴AP=BE=DF=CQ．
∴AE=BQ=CF=PD．
設(shè)點(diǎn)O到正方形ABCD一邊的距離為d，．
∴

1

2

（AP+AE）d=

1

2

（BE+BQ）d=

1

2

（CQ+CF）d=

1

2

（DF+PD）d．
∴S_{四邊形APOE}=S_{四邊形BEOQ}=F_{四邊形CQOF}=S_{四邊形DFOP}．
∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分．
（3）存在．當(dāng)BQ=CD=時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分．
理由如下：
如圖6，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE=CD，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF=AB，連接EF．

∵BE∥CF，BE=CF．
∴四邊形BCFE為平行四邊形．
∵BC=BE=AB+CD，
∴平行四邊形CBFE為菱形．
連接BF交AD于點(diǎn)M，則△MAB≌△MDF．
∴AM=DM，即點(diǎn)P、M重合．
∴點(diǎn)P是菱形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)．
在BC上截取BQ=CD，則CQ=AB．
設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為d，
∴S_△ABP+S_△QBP=

1

2

（AB+BQ）d=

1

2

（CQ+CD）d=S_△CQP+S_△CDP．
∴當(dāng)BQ=CD時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形綜綜合題及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟記等底等高的三角形面積相等．