【題目】我們規(guī)定:在正方形ABCD中,以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)A為頂點(diǎn),且過(guò)對(duì)角頂點(diǎn)C的拋物線,稱為這個(gè)正方形的以A為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線.
(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)在軸正半軸上,點(diǎn)C在y軸正半軸上.
①如圖1,正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,求以O(shè)為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線;
②如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形OABC的邊長(zhǎng)為a,其以O(shè)為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線的解析式為y= x2 , 求a的值;
(2)如圖3,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),正方形的四條對(duì)角拋物線在正方形ABCD內(nèi)分別交于點(diǎn)M、P、N、Q,直接寫(xiě)出四邊形MPNQ的形狀和四邊形MPNQ的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:①如圖1中,設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2,
∵過(guò)B(2,2),
∴2=4a,
∴a= ,
∴所求的拋物線的解析式為y= x2.
②如圖2中,設(shè)B(a,a).
則有a= a2,解得a=4或0(舍棄),
∴B(4,4),
∴OA=4,
∴正方形的邊長(zhǎng)為4
(2)
解:如圖3中,結(jié)論:四邊形MPNQ是菱形,對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4).
理由:∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,A(3,2),
∴B(7,2),C(7,6),D(3,6),
∴以A為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y= (x﹣3)2+2,
以B為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y= (x﹣7)2+2,
以C為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y=﹣ (x﹣7)2+6,
以D為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y=﹣ (x﹣3)2+6,
由 可得M(5,3),
由 可得N(5,5),
由 可得P(3+2 ,4),
由 可得Q(7﹣2 ,4),
∴PM= ,
PN= ,
QN= ,
QM= ,
∴PM=PN=QN=QM,
∴四邊形MPNQ是菱形,對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,5)
【解析】(1)①設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2 , 把B(2,2)代入即可解決問(wèn)題.②設(shè)B(a,a).代入y= x2求出a即可解決問(wèn)題.(2)如圖3中,結(jié)論:四邊形MPNQ是菱形,對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4).求出A、B、C、D的頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線,利用方程組求出M、P、N、Q的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì),需要了解正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
(1)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是;頂點(diǎn)坐標(biāo)是;
(2)在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫(huà)出此拋物線.
x | … | … | |||||
y | … | … |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,與函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2.在x軸上有一點(diǎn)P (a,0)(其中a>2),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,分別交函數(shù)和y=x的圖象于點(diǎn)C,D.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)若OB=CD,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直徑,點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且AP=AC.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若AB=4+ ,BC=2 ,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某倉(cāng)庫(kù)本周運(yùn)進(jìn)貨物件數(shù)和運(yùn)出貨物件數(shù)如下表:
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
運(yùn)進(jìn)貨物件數(shù) | 5 | a | 5 | 5 | b | 5 | 5 |
運(yùn)出貨物件數(shù) | 12 | 2a | 8 | 0 | b﹣5 | 5 | 10 |
(1)如果用正數(shù)表示運(yùn)進(jìn)貨物件數(shù),負(fù)數(shù)表示運(yùn)出貨物件數(shù),請(qǐng)你分別表示出周二、周五當(dāng)天進(jìn)出貨物后變化的量;
(2)若經(jīng)過(guò)一周的時(shí)間,倉(cāng)庫(kù)貨物總量相比上周末庫(kù)存量減少了5件,求a的值;
(3)若本周運(yùn)進(jìn)貨物總件數(shù)比運(yùn)出貨物件數(shù)的一半多15件,本周運(yùn)進(jìn)貨物總件數(shù)比上周減少,而本周運(yùn)出貨物總件數(shù)比上周多,這兩周內(nèi),該倉(cāng)庫(kù)貨物共增加了3件,求a、b的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上,點(diǎn)E,F分別在直線AD的兩側(cè),且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.
(1)求證:四邊形BFCE是平行四邊形;
(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,則BE= 時(shí),四邊形BFCE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明從A點(diǎn)出發(fā)向北偏東60°方向走了80m米到達(dá)B地,從B地他又向西走了160m到達(dá)C地.
(1)用1:4000的比例尺(即圖上1cm等于實(shí)際距離40m)畫(huà)出示意圖,并標(biāo)上字母;
(2)用刻度尺出AC的距離(精確到0.01cm),并求出C但距A點(diǎn)的實(shí)際距離(精確到1m);
(3)用量角器測(cè)出C點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)A的方位角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí),合理利用水資源,某市采用價(jià)格調(diào)控的手段達(dá)到節(jié)水的目的,該市自來(lái)水收費(fèi)的價(jià)目表如下表(注:水費(fèi)按月份結(jié)算,表示立方米):
價(jià)目表 | |
每月用水量 | 單價(jià) |
不超出的部分 | 元 |
超出不超出的部分 | 元 |
超出的部分 | 元 |
注:水費(fèi)按月結(jié)算 |
例:若某戶居民月份用水,應(yīng)收水費(fèi)為(元).
請(qǐng)根據(jù)上表的內(nèi)容解答下列問(wèn)題:
填空:若該戶居民月份用水,則應(yīng)收水費(fèi)________元;
若該戶居民月份用水(其中),則應(yīng)收水費(fèi)多少元?(用含的表示,并化簡(jiǎn))
若該戶居民,兩個(gè)月共用水(月份用水量超過(guò)了月份),設(shè)月份用水,求該戶居民,兩個(gè)月共交水費(fèi)多少元?(用含的表示,并化簡(jiǎn))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,已知下列6個(gè)條件:①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD.則不能使四邊形ABCD成為矩形的是( 。
A. ①②③ B. ②③④ C. ②⑤⑥ D. ④⑤⑥
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