Question

11．圖1和圖2中的正方形ABCD和四邊形AEFG都是正方形．
（1）如圖1，連接DE，BG，M為線段BG的中點(diǎn)，連接AM，探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到圖2的位置，連結(jié)DE、BG，M為線段BG的中點(diǎn)，連結(jié)AM，探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）AM=$\frac{1}{2}$DE，AM⊥DE，理由是：先證明△DAE≌△BAG，得DE=BG，∠AED=∠AGB，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)得AM=$\frac{1}{2}$BG，AM=BM，則AM=$\frac{1}{2}$DE，由角的關(guān)系得∠MAB+∠AED=90°，所以∠AOE=90°，即AM⊥DE；
（2）AM=$\frac{1}{2}$DE，AM⊥DE，理由是：作輔助線構(gòu)建全等三角形，證明△MNG≌△MAB和△AGN≌△EAD可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）AM=$\frac{1}{2}$DE，AM⊥DE，理由是：
如圖1，設(shè)AM交DE于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，AD=AB，
∵∠DAE=∠BAG，
∴△DAE≌△BAG，
∴DE=BG，∠AED=∠AGB，
在Rt△ABG中，
∵M(jìn)為線段BG的中點(diǎn)，
∴AM=$\frac{1}{2}$BG，AM=BM，
∴AM=$\frac{1}{2}$DE，
∵AM=BM，
∴∠MBA=∠MAB，
∵∠AGB+∠MBA=90°，
∴∠MAB+∠AED=90°，
∴∠AOE=90°，即AM⊥DE；
（2）AM=$\frac{1}{2}$DE，AM⊥DE，理由是：
如圖2，延長(zhǎng)AM到N，使MN=AM，連接NG，
∵M(jìn)N=AM，MG=BM，∠NMG=∠BMA，
∴△MNG≌△MAB，
∴NG=AB，∠N=∠BAN，
由（1）得：AB=AD，
∴NG=AD，
∵∠BAN+∠DAN=90°，
∴∠N+∠DAN=90°，
∴NG⊥AD，
∴∠AGN+∠DAG=90°，
∵∠DAG+∠DAE=∠EAG=90°，
∴∠AGN=∠DAE，
∵NG=AD，AG=AE，
∴△AGN≌△EAD，
∴AN=DE，∠N=∠ADE，
∵∠N+∠DAN=90°，
∴∠ADE+∠DAN=90°，
∴AM⊥DE．

點(diǎn)評(píng) 本題是正方形和旋轉(zhuǎn)變換的綜合題，圖形比較復(fù)雜，考查了正方形的性質(zhì)；做好本題要熟練掌握正方形的各邊相等，各角都等于90°，明確全等三角形的判定和性質(zhì)，同時(shí)還運(yùn)用了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半來(lái)證明邊相等或角相等．