【題目】(本題12分)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.

(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.

(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且AD=CD,求∠ACB的度數(shù).

(3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長(zhǎng).

【答案】(1)答案見解析;(2)96°或114°;(3)

【解析】試題分析:(1)根據(jù)完美分割線的定義只要證明①ABC不是等腰三角形,②ACD是等腰三角形,③BDCBCA即可.

2)分三種情形討論即可如圖2,當(dāng)AD=CD時(shí),如圖3中,當(dāng)AD=AC時(shí),如圖4中,當(dāng)AC=CD時(shí),分別求出ACB即可.

3)設(shè)BD=x,利用BCDBAC,得,列出方程即可解決問題.

1)如圖1中,∵∠A=40°,B=60°∴∠ACB=80°,ABC不是等腰三角形,CD平分ACB,∴∠ACD=BCD=ACB=40°,∴∠ACD=A=40°,ACD為等腰三角形,∵∠DCB=A=40°CBD=ABC,BCDBACCDABC的完美分割線.

2當(dāng)AD=CD時(shí),如圖2,ACD=∠A=45°BDCBCA,∴∠BCD=∠A=48°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°

當(dāng)AD=AC時(shí),如圖3中,ACD=∠ADC=180°-48°÷2=66°,BDCBCA,∴∠BCD=∠A=48°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°

當(dāng)AC=CD時(shí),如圖4中,ADC=∠A=48°BDCBCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADCBCD,矛盾,舍棄,∴∠ACB=96°114°

3)由已知AC=AD=2BCDBAC, 設(shè)BD=x),x0,x=BCDBAC,=,CD=×2=

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【題目】(本題10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.

(1)求證:BE=CE;

(2)若BD=2,BE=3,求AC的長(zhǎng).

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【題目】解方程:

(1)(直接開平方法)

(2)(因式分解法)

(3)(配方法)

(4)(公式法)

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