Question

【題目】(1)如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=12，BC=5，AM=AC,BN=BC,求MN的長(zhǎng)．

(2)如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AM=AC,BN=BC

當(dāng)∠A=300時(shí)，求∠MCN的度數(shù)。

當(dāng)∠A的度數(shù)變化時(shí)，∠MCN的度數(shù)是否變化，如有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不變，求∠MCN的度數(shù)．

(3)如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC,點(diǎn)M、N在邊AB上，且∠MCN=450，試猜想線段AN、BM、MN之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（不要求證明）．

Answer 1

【答案】(1)MN=4 ；(2) ① ∠MCN=45°；②∠MCN=45°；(3)AN2+BM2=MN2

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可解答；

（2）①由題知∠ACB=90°，AM=AC，BN=BC，∠A=30°，求出∠AMC和∠CNB即可求出∠MCN的度數(shù)，②分別用∠A表示出∠AMC和∠CNB，即可得出∠MCN的度數(shù)；

（3）作△CAN關(guān)于CN所在直線的軸對(duì)稱三角形CPN，連接MP，可證明∠MCP=∠MCB，即可證明△BCM≌△PCM，則MP=BM，∠MPC=∠B=45°，∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°，即可得出結(jié)論.

解：（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AB=，

又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，

∴AM=12，BN=5，

∴MN=AM+BN-AB=12+5-13=4；

（2）①∵∠A=30°，AC=AM，

∴∠AMC=（180°-30°）=75°，

∵∠B=60°，BC=BN，

∴∠CNB=（180°-60°）=60°，

∴∠MCN=180°-60°-75°=45°；

②當(dāng)∠A的度數(shù)變化時(shí)，∠MCN的度數(shù)不變化，理由如下：

∵∠AMC=（180°-∠A），∠BNC=（180°-∠B），

∴∠MCN=180°-∠AMC-∠BNC=（∠A+∠B）=45°；

（3）AN2+BM2=MN2理由如下：

如圖，作△CAN關(guān)于CN所在直線的軸對(duì)稱△CPN，連接MP，

則CP=CA，PN=AN，∠ACN=∠PCN，∠CPN=∠A=45°，

∵AC=BC，

∴CP=CB，

∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，

∴∠MCP+∠NCP=45°，∠ACN+∠BCM=45°，

∴∠MCP=∠MCB，

在△BCM和△PCM中，

∴△BCM≌△PCM（SAS），

∴MP=MB，∠MPC=∠B=45°，

∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°，

∴在Rt△PMN中PN2+PM2=MN2即AN2+BM2=MN2．