Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，點E從點D出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動，同時點F從點C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當(dāng)B、E、F三點共線時，兩點同時停止運動，此時BF⊥CE．設(shè)點E移動的時間為t（秒）．
（1）求當(dāng)t為何值時，兩點同時停止運動；
（2）求當(dāng)t為何值時，EC是∠BED的平分線；
（3）設(shè)四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（4）求當(dāng)t為何值時，△EFC是等腰三角形．（直接寫出答案）

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）B，E，F(xiàn)三點共線時，滿足△FED∽△FBC，結(jié)合行程問題可以得出關(guān)于t的比例式，求出t的值；
（2）∠BEC=∠BFC．可以轉(zhuǎn)化為∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出關(guān)于t的方程，求出值；
（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，可以將四邊形BCFE的面積分成S_△BCE，S_△ECF兩部分，結(jié)合（1）確定t的取值范圍；
（4）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三種情況討論．

解答：解：（1）當(dāng)B，E，F(xiàn)三點共線時，兩點同時停止運動，如圖所示．
由題意可知：ED=t，BC=10，F(xiàn)D=2t-5，F(xiàn)C=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴

FD

FC

=

ED

BC

．
∴

2t-5

2t

=

t

10

．
解得t=5．
∴當(dāng)t=5時，兩點同時停止運動；

（2）在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∵∠BCF=∠CDE=90°，

BC

CD

=

CF

ED

=2，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED．                              
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，則∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵5²+（10-t）²=10²，
解得 t₁=10+5

3

（舍去），t₂=10-5

3

．
即當(dāng)t=10-5

3

時，EC是∠BED的平分線．         

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)F在線段CD上時：S_{四邊形BCFE}=S_梯形BCDE-S_△EDF=

1

2

（t+10）×5-

1

2

t（5-2t）=t²+25；
②當(dāng)F在CD延長線上時：
S_{四邊形BCFE}=S_梯形BCDE+S_△EDF=

1

2

（t+10）×5-

1

2

t（2t-5）=t²+25；
∴S=t²+25（0≤t≤5）；

（4）△EFC是等腰三角形有三種情況：
①若EF=EC時，則點F只能在CD的延長線上，
∵EF²=（2t-5）²+t²=5t²-20t+25，
EC²=5²+t²=t²+25，
∴5t²-20t+25=t²+25．
∴t=5或t=0（舍去）；
②若EC=FC時，
∵EC²=5²+t²=t²+25，F(xiàn)C²=4t²，
∴t²+25=4t²．
∴t=

5 3

3

；
③若EF=FC時，
∵EF²=（2t-5）²+t²=5t²-20t+25，F(xiàn)C²=4t²，
∴5t²-20t+25=4t²．
∴t₁=10+5

3

（舍去），t₂=10-5

3

．
∴當(dāng)t的值為5，

5 3

3

或10-5

3

時，△EFC是等腰三角形．

點評：本題考查了四邊形綜合題．其中涉及到了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．該題數(shù)形結(jié)合，綜合性較強，將行程問題與矩形有機(jī)的整合，有一定的思維容量．