Question

如圖，△ABC的內(nèi)心在y軸上，B（0，3）C（3，0），直線AC的解析式為
y=

1

3

x-1，則tanA的值是

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：直線AB交x軸于D，由B和C點坐標(biāo)易得△OBC為等腰直角三角形，則BC=

2

OB=3

2

，∠OBC=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得到OB平分∠DBC，則∠DBO=∠OBC=45°，所以△OBD為等腰直角三角形，得到OD=OB=3，D點坐標(biāo)為（-3，0），于是可用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=x+3，然后解方程組

y=x+3 y= 1 3 x-1

得到A點坐標(biāo)為（-6，-3），再根據(jù)兩點間的距離公式計算出AB=6

2

，接著在Rt△ABC中利用正切的定義求解．

解答：解：直線AB交x軸于D，如圖，
∵B（0，3），C（3，0），
∴OB=OC=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴BC=

2

OB=3

2

，∠OBC=45°，
∵△ABC的內(nèi)心在y軸上，
∴OB平分∠DBC，
∴∠DBO=∠OBC=45°，
∴△OBD為等腰直角三角形，
∴OD=OB=3，
∴D點坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把B（0，3）、D（-3，0）代入得

b=3 -3k+b=0

，解得

k=1 b=3

，
∴直線AB的解析式為y=x+3，
解方程組

y=x+3 y= 1 3 x-1

得

x=-6 y=-3

，
∴A點坐標(biāo)為（-6，-3），
∴AB=

(-6)2+(-3-3)2

=6

2

，
在Rt△ABC中，tan∠A=

BC

AB

=

3 2

6 2

=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：會把求兩直線交點坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化解方程組的問題和運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解三角形內(nèi)心的定義和等腰直角三角形的性質(zhì)；能根據(jù)兩點間的距離公式計算線段的長．