Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點A(1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點P是直線BC下方的拋物線上一動點(不點B，C重合)，過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，求PD的長度最大時點P的坐標(biāo)．

(3)設(shè)拋物線的對稱軸與BC交于點E，點M是拋物線的對稱軸上一點，N為y軸上一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣4x+3；(2)PD的長度最大時點P的坐標(biāo)為(，﹣)；(3)點M的坐標(biāo)為M1(2，3)，M2(2，1﹣2)，M3(2，1+2)

【解析】

（1）用待定系數(shù)法法求解；把已知點的坐標(biāo)分別代入解析式可得；

（2）設(shè)P(m，m2﹣4m+3)，將點B(3，0)、C(0，3)代入得直線BC解析式為yBC=﹣x+3．過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，則D(m，﹣m+3)，PD==﹣(m﹣)2+，求函數(shù)最值可得．

（3）設(shè)存在以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形．根據(jù)題意，點E(2，1)，EF=CF=2，求出EC=2，根據(jù)菱形性質(zhì)，ME=EC=2，可求出M的坐標(biāo)；注意當(dāng)EM=EF=2時，M(2，3).

解：(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點A(1，0)和點B(3，0)，與

y軸交于點C，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

(2)如圖：

設(shè)P(m，m2﹣4m+3)，

將點B(3，0)、C(0，3)代入得直線BC解析式為yBC=﹣x+3．

∵過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，

∴D(m，﹣m+3)，

∴PD=(﹣m+3)﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m．

=﹣(m﹣)2+．

∴當(dāng)m=時，PD有最大值．

當(dāng)m=時，m2﹣4m+3=﹣．

∴P(，﹣)．

答：PD的長度最大時點P的坐標(biāo)為(，﹣)．

(3)存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形．

根據(jù)題意，點E(2，1)，

∴EF=CF=2，

∴EC=2，

根據(jù)菱形的四條邊相等，

∴ME=EC=2，

∴M(2，1﹣2)或(2，1+2)

當(dāng)EM=EF=2時，M(2，3)

答：點M的坐標(biāo)為M1(2，3)，M2(2，1﹣2)，M3(2，1+2)．