【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB邊上的一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點(diǎn)E.
(1)若AC=5,BC=13,求⊙O的半徑;
(2)過點(diǎn)E作弦EF⊥AB于M,連接AF,若∠F=2∠B,求證:四邊形ACEF是菱形.
【答案】
(1)解:連接OE,設(shè)圓O半徑為人,
在Rt△ABC中,BC=13,AC=5,
根據(jù)勾股定理得:AB= =12,
∵BC與圓O相切,
∴OE⊥BC,
∴∠OEB=∠BAC=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BOE∽△BCA,
∴ = ,即 = ,
解得:r= ;
(2)解:∵ = ,∠F=2∠B,
∴∠AOE=2∠F=4∠B,
∵∠AOE=∠OEB+∠B,
∴∠B=30°,∠F=60°,
∵EF⊥AD,
∴∠EMB=∠CAB=90°,
∴∠MEB=∠F=60°,CA∥EF,
∴CB∥AF,
∴四邊形ACEF為平行四邊形,
∵∠CAB=90°,OA為半徑,
∴CA為圓O的切線,
∵BC為圓O的切線,
∴CA=CE,
∴平行四邊形ACEF為菱形
【解析】(1)連接OE,設(shè)圓的半徑為r,在之間三角形ABC中,利用勾股定理求出AB的長,根據(jù)BC與圓相切,得到OE垂直于BC,進(jìn)而得到一對直角相等,再由一對公共角,利用兩角相等的三角形相似得到三角形BOE與三角形ABC相似,由相似得比例求出r的值即可;(2)利用同弧所對的圓周角相等,得到∠AOE=4∠B,進(jìn)而求出∠B與∠F的度數(shù),根據(jù)EF與AD垂直,得到一對直角相等,確定出∠MEB=∠F=60°,CA與EF平行,進(jìn)而得到CB與AF平行,確定出四邊形ACEF為平行四邊形,再由∠CAB為直角,得到CA為圓的切線,利用切線長定理得到CA=CE,利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證.此題考查了切線的性質(zhì),菱形的判定,相似三角形的判定與性質(zhì),以及垂徑定理,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】掌握菱形的判定方法和垂徑定理是解答本題的根本,需要知道任意一個四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對角線若垂直,順理成章為菱形;垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程或方程組解應(yīng)用題:
某中學(xué)為迎接校運(yùn)會,籌集7000元購買了甲、乙兩種品牌的籃球共30個,其中購買甲品牌籃球花費(fèi)3000元,已知甲品牌籃球比乙品牌籃球的單價高50%,求乙品牌籃球的單價及個數(shù)。
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【題目】如圖,已知A(n,﹣2),B(1,4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y= 的圖象的兩個交點(diǎn),直線AB與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)求△AOC的面積;
(3)求不等式kx+b﹣ <0的解集.(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測量),點(diǎn)A,D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.
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【題目】根據(jù)頻數(shù)分布表或頻數(shù)分布直方圖求加權(quán)平均數(shù)時,統(tǒng)計中常用各組的組中值代表各組的實(shí)際數(shù)據(jù),把各組的頻數(shù)看作相應(yīng)組中值的權(quán),請你依據(jù)以上知識,解決下面的實(shí)際問題.
為了解5路公共汽車的運(yùn)營情況,公交部門統(tǒng)計了某天5路公共汽車每個運(yùn)行班次的載客量,并按載客量的多少分成A,B,C,D四組,得到如下統(tǒng)計圖:
(1)求A組對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù),并寫出這天載客量的中位數(shù)所在的組;
(2)求這天5路公共汽車平均每班的載客量;
(3)如果一個月按30天計算,請估計5路公共汽車一個月的總載客量,并把結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示出來.
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【題目】如圖,一拋物線型拱橋,當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2米時,水面寬度為4米;那么當(dāng)水位下降1米后,水面的寬度為米.
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【題目】下列各式:①a0=1;②a2a3=a5;③2﹣2=﹣;④﹣(3﹣5)+(﹣2)4÷8×(﹣1)=0;⑤x2+x2=2x2,其中正確的是( 。
A、①②③B、①③⑤
C、②③④D、②④⑤
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【題目】如圖,在ABCD中,E為對角線AC延長線上的一點(diǎn).
(1)若四邊形ABCD是菱形,求證:BE=DE.
(2)寫出(1)的逆命題,并判斷其是真命題還是假命題,若是真命題,給出證明;若是假命題,舉出反例.
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【題目】(10分) 把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,點(diǎn)C與點(diǎn)F重合(E、F兩點(diǎn)均在BD上),折痕分別為BH、DG.
(1)求證:△BHE≌△DGF;
(2)若AB=6cm,BC=8cm,求線段FG的長.
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