【題目】在平面直角坐標系中,點B為第一象限內一點,點Ax軸正半軸上一點,分別連接OB,AB,AOB為等邊三角形,點B的橫坐標為4

1)如圖1,求線段OA的長;

2)如圖2,點M在線段OA上(點M不與點O、點A重合),點N在線段BA的延長線上,連接MB,MNBMMN,設OM的長為tBN的長為d,求dt的關系式(不要求寫出t的取值范圍);

3)在(2)的條件下,點D為第四象限內一點,分別連接OD,MDND,MND為等邊三角形,線段MA的垂直平分線交OD的延長線于點E,交MA于點H,連接AE,交ND于點F,連接MF,若MFAM+AN,求點E的橫坐標.

【答案】18;(2d8+t;3)點E的橫坐標為6

【解析】

1)過點BBHOA于點H,根據等邊三角形的性質解答即可;

2)過點MMPAB于點P,根據等邊三角形的性質解答即可;

3)過點NNKOB,交x軸于點K,過點NNRx軸于點R,通過等邊三角形的性質和全等三角形的性質的到AN=tOM=t,AH=MH=OH=OM+MH=,通過證明AM=AN,可得關于t的方程,求出t,即可得出答案。

解:(1)如圖,過點BBHOA于點H,

∵△AOB為等邊三角形,∴BOBA,

BHOA,∴OHAH,

∵點B橫坐標為4,∴OH4,

OA2HO8;

2)如圖,過點MMPAB于點P,∴∠MPA90°,

BMMN,∴BPPN,

∵△AOB為等邊三角形,∴BAAO8,∠BAO60°,

∴∠AMP30°,∴APAM,

AM8t,∴AP8t)=4t,∴BPABAP4+t,

BN2BP8+t,∴d8+t

3)過點NNKOB,交x軸于點K,過點NNRx軸于點R

∵△AOB為等邊三角形,∴∠BOA60°=∠OAB,

NKOB,∴∠NKA=∠BOA60°,且∠OAB=∠NAK60°

∴∠NAK=∠NKA60°,∴△AKN是等邊三角形

ANNKAK,

∵△MND為等邊三角形,

∴∠NMD=∠MND60°,MNMD

∴∠OMD+NMK=∠NMK+MNK180°60°120°,

∴∠OMD=∠MNK,

AN8+t8tOMt,

OMANNKAKt,且∠OMD=∠MNK,MDMN,

∴△OMD≌△KNM SAS),

ODMK,∠MOD=∠MKN60°,

MKt+t8,∴OD8,

EH垂直平分MA,∴AHMHAM8t)=4t,

OHOM+MHt+4t4+t,

∵∠OEH90°60°30°,∴OE2HO8+t,∴DE8+t8t,∴DEAN,

∵∠DOA=∠BAO,∴BNOE,∴∠NAF=∠DEF,

又∵∠AFN=∠EFD,ANDE,∴△AFN≌△EFDAAS),∴FNFD,

又∵MNMD,∴MFDN

NRAK,∴∠ARN90°,且∠NAK60°,∴∠ANR30°

AR,

MRAM+ARAM+MFAM+,∴MRMF,且 MFDN,NRAK

∴∠MNR=∠MND60°,∴∠NMA90°60°30°

∵∠BAO=∠AMN+ANM,∴∠AMN=∠ANM30°,∴AMAN,∴8tt,∴t4,

OH4+×46,∴點E的橫坐標為6

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