【題目】ABCD中,對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O,E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與AB重合),連接EO并延長(zhǎng),交CD于點(diǎn)F,連接AFCE,下列四個(gè)結(jié)論中:

①對(duì)于動(dòng)點(diǎn)E,四邊形AECF始終是平行四邊形;

②若∠ABC90°,則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形AECF是矩形;

③若ABAD,則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形AECF是菱形;

④若∠BAC45°,則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形AECF是正方形.

以上所有正確說法的序號(hào)是_____

【答案】①③④

【解析】

①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得ABDCOAOC,再由平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角相等可得∠OAE=∠OCF,∠AOE=∠COF,根據(jù)ASA來(lái)判定AOE≌△COF,推出AE=CF,由此可判斷四邊形為平行四邊形;

②根據(jù)矩形的判定定理可知,當(dāng)CEAB時(shí),四邊形AECF為矩形,而圖2-2中,AB<AD時(shí),點(diǎn)E不在線段AB上;

③根據(jù)菱形的判定定理可知:當(dāng)EFAC時(shí),四邊形AECF為菱形;

④當(dāng)CEAB且∠BAC45°時(shí),四邊形AECF為正方形,在AB上一定存在一點(diǎn)E

解:(1)如圖1,


∵四邊形ABCD為平行四邊形,對(duì)角線ACBD交于點(diǎn)O

ABDC,ABDC,OAOCOBOD,

∴∠OAE=∠OCF

∵∠AOE=∠COF,

∴△AOE≌△COFASA),

AECF,

又∵AECF

∴四邊形AECF為平行四邊形,

EAB上任意位置(不與A、B重合)時(shí),四邊形AECF恒為平行四邊形,

故選項(xiàng)①正確;

2)如圖2,當(dāng)∠ABC90°,

當(dāng)CEAB時(shí),四邊形AECF為矩形,

在圖2中,AB>AD時(shí),存在一點(diǎn)E, 使得四邊形AECF是矩形;

而圖2-2中,AB<AD時(shí),點(diǎn)E不在線段AB上;

故選項(xiàng)②不正確.

3)如圖3,

當(dāng)EFAC時(shí),四邊形AECF為菱形,

ABAD,

∴在AB上一定存在一點(diǎn)E, 使得四邊形AECF是矩形;

故選項(xiàng)③正確.

4)如圖4,

當(dāng)CEAB且∠BAC45°時(shí),四邊形AECF為正方形,故選項(xiàng)④正確.

故答案為:①③④.

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