Question

15．觀察下列各式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…
（1）請根據(jù)以上的式子填寫下列各題：
①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$；②$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．（n是正整數(shù)）
（2）由以上的幾個式子及你找到的規(guī)律計算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2009×2010}$．

Answer 1

分析 （1）由于：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，利用題目規(guī)律即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，可得原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$，然后利用有理數(shù)的加減混合運算法則計算即可求解．

解答 解：（1）①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$；②$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n是正整數(shù)）．
故答案為$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$
=1-$\frac{1}{2010}$
=$\frac{2009}{2010}$．

點評 此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解題時首先正確理解題目中隱含的規(guī)律，然后利用規(guī)律把題目變形，從而使計算變得比較簡便．