Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）．點(diǎn)P是直線BC在第一象限上的一點(diǎn)，O是原點(diǎn)．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△OPA的面積為S，試求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在點(diǎn)P，使PO=PA？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-

1

2

x+4），則PD=|y|=|-

1

2

x+4|=-

1

2

x+4；然后根據(jù)三角形的面積公式列出S關(guān)于x的關(guān)系式；
（3）存在點(diǎn)P，使PO=PA．利用假設(shè)法進(jìn)行證明：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥x軸于D．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求得OD=AD=2，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線BC的解析式，求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)證得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）．則依題意得

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
所以直線BC的解析式為y=-

1

2

x+4；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．
∵點(diǎn)P是直線y=-

1

2

x+4在第一象限上的一點(diǎn)，且坐標(biāo)為（x，y），
∴PD=|y|=|-

1

2

x+4|=-

1

2

x+4．
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
∴OA=4，
∴△OPA的面積為：S=

1

2

OA×PD=

1

2

×4×(-

1

2

x+4)=-x+8(0＜x＜8)；

（3）存在點(diǎn)P，使PO=PA．理由如下：
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥x軸于D．
當(dāng)PO=PA時(shí)，則OD=AD=

1

2

OA=2，
又點(diǎn)P是直線y=-

1

2

x+4在第一象限上的一點(diǎn)，
∴PD=-

1

2

×2+4=3．
∴在第一象限存在1個(gè)點(diǎn)P（2，3），使OP=AP．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．本題中根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)與點(diǎn)的距離是解題的基礎(chǔ)．