Question

如圖，已知，∠A=42°，∠D=138°，BP、CP分別平分∠ABD、∠ACD．求證：BP⊥CP．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長BP與AC相交于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABP+∠ACP，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPC=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答：證明：如圖，延長BP與AC相交于點(diǎn)E，
∵∠A=42°，∠D=138°，
∴∠ABC+∠ACB=∠D-∠A=138°-42°=96°，
∵BP、CP分別平分∠ABD、∠ACD，
∴∠ABP+∠ACP=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×96°=48°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠1=∠A+∠ABP，
∠BPC=∠1+∠CP=∠A+∠ABP+∠ACP=42°+48°=90°，
∴BP⊥CP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．