【題目】如圖1,菱形ABCD中,△EFP的頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上,且EP=FP.
(1)證明:∠EPF+∠BAD=180°.
(2)若∠BAD=120°(如圖2),證明:AE+AF=AP.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】分析:(1)如圖1中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.由Rt△PMF≌Rt△PNE,推出∠MPF=∠NPE,推出∠EPF=∠MPF,由∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°,推出∠EPF+∠BAD=180°即可;
(2)如圖2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.由Rt△PMF≌Rt△PNE,推出FM=NE,由PA=PA,PM=PN,推出Rt△PAM≌Rt△PAN,推出AM=AN,推出AF+AE=(AM+FM)+(AN-EN)=2AM,再證明PA=2AM即可解決問題;
詳解:(1)如圖1中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠PAM=∠PAN,
∴PM=PN,
∵PE=PF,
∴Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴∠MPF=∠NPE,
∴∠EPF=∠MPF,
∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°,
∴∠EPF+∠BAD=180°.
(2)如圖2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.
由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴FM=NE,
∵PA=PA,PM=PN,
∴Rt△PAM≌Rt△PAN,
∴AM=AN,
∴AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM,
∵∠BAD=120°,
∴∠PAM=60°,易知PA=2AM,
∴AE+AF=PA.
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【題目】已知關于的方程的解也是關于的方程的解.
(1)求、的值;
(2)若線段,在直線AB上取一點P,恰好使,點Q是PB的中點,求線段AQ的長.
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【題目】如圖,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)若∠BOC=60°,∠AOC=40°,求∠DOE的度數(shù);
(2)若∠DOE=n°,求∠AOB的度數(shù);
(3)若∠DOE+∠AOB=180°,求∠AOB與∠DOE的度數(shù).
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【題目】如圖,菱形ABCD和菱形AEFG開始完全重合,現(xiàn)將菱形AEFG繞點A順時針旋轉,設旋轉角∠BAE=α(0°<α<360°),則當α=_____時,菱形的頂點F會落在菱形ABCD的對角線所在的直線上.
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【題目】如圖,E是正方形ABCD外一點,且DE=CE=,連接AE.
(1)將△ADE繞點D逆時針旋轉90°,作出旋轉后的圖形.
(2)如果∠AED=15°,判斷△DEC的形狀,并說明理由.
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【題目】為了了解市民“獲取新聞的最主要途徑”,某市記者開展了一次抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖:
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)這次接受調(diào)查的市民總人數(shù)是______;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,“電視”所對應的圓心角的度數(shù)是______;
(3)請補全條形統(tǒng)計圖.
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【題目】為了獎勵優(yōu)秀班集體,學校購買了若干副乒乓球拍和羽毛球拍,購買2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元,購買3幅乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元.
(1)每副乒乓球拍和羽毛球拍的單價各是多少元?
(2)若學校購買5副乒乓球拍和3副羽毛球拍,一共應支出多少元?
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【題目】【探索發(fā)現(xiàn)】
如圖①,是一張直角三角形紙片,∠B=60°,小明想從中剪出一個以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形,經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn),當沿著中位線DE、EF剪下時,所得的矩形的面積最大,隨后,他通過證明驗證了其正確性,并得出:矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 .
【拓展應用】
如圖②,在△ABC中,BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上,頂點Q、M在邊BC上,則矩形PQMN面積的最大值為 .(用含a,h的代數(shù)式表示)
【靈活應用】
如圖③,有一塊“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個面積最大的矩形(∠B為所剪出矩形的內(nèi)角),求該矩形的面積.
【實際應用】
如圖④,現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積.
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【題目】為了參加中考體育測試,甲、乙、丙三位同學進行足球傳球訓練,球從一個人腳下隨機傳到另一個人腳下,且每位傳球人傳給其余兩人的機會是均等的,由甲開始傳球,共傳球三次.
(1)請利用樹狀圖列舉出三次傳球的所有可能情況;
(2)求三次傳球后,球回到甲腳下的概率;
(3)三次傳球后,球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大?
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