Question

將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到△DBE，直線DE與直線AC相交于點(diǎn)F，連接BF．
（1）如圖1，若α=60°，DF=2AF，請(qǐng)直接寫

AF

BF

等于

 

；
（2）若DF=mAF，（m＞0，且m≠1）
①如圖2，求

AF

BF

；（用含α，m的式子表示）
②如圖3，依題意補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接寫出

AF

BF

等于

 

．（用含α，m的式子表示）

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）連接AD，G是DF的中點(diǎn)，連接AG，然后證得△ABD和△AGF是等邊三角形，再證得△BDF≌△ADF，得出BF=AF即可求得；
（2）①在DF上截取DG=AF，連接BG，由旋轉(zhuǎn)知，DB=AB，∠D=∠A，從而證得△DBG≌△ABF，然后通過解直角三角形即可求得；
②延長(zhǎng)FD到G，使DG=AF，連接BG，先證得△DBG≌△ABF，然后解直角三角形即可求得；

解答：解：（1）連接AD，G是DF的中點(diǎn)，連接AG，
∵∠BAC=∠BDE，
∴∠ABD=∠AFG=60°，
∵DF=2AF，
∴AF=GF，
∴AG=AF=GF=DG，
∴∠ADG=∠DAG=30°，
∵AB=DB，∠ABD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，BD=AD，
∴∠ADF=∠BDF=30°，
在△BDF與△ADF中

BD=AD ∠BDF=∠ADF DF=DF

∴△BDF≌△ADF（SAS），
∴AF=BF，
∴

AF

BF

=1．
故答案為1．

（2）①如圖2，在DF上截取DG=AF，連接BG，
由旋轉(zhuǎn)知，DB=AB，∠D=∠A，
在△DBG與△ABF中

BD=AB ∠D=∠A DG=AF

∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠GBF=α，
過點(diǎn)B作BN⊥GF于點(diǎn)N，
∴點(diǎn)N為GF中點(diǎn)，∠FBN=

α

2

，
在RT△BNF中，NF=BF•sin

α

2

，
∴GF=2BF•sin

α

2

，
∵DF=DG+GF，
∴mAF=AF+2BF•sin

α

2

，
∴（m-1）AF=2BF•sin

α

2

，
∴

AF

BF

=

2

m-1

sin

α

2

．

②如圖3，依題意補(bǔ)全的圖形，
延長(zhǎng)FD到G，使DG=AF，連接BG，
由旋轉(zhuǎn)知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠GBF=α，
過點(diǎn)B作BN⊥GF于點(diǎn)N，
∴點(diǎn)N為GF中點(diǎn)，∠FBN=

α

2

，
在RT△BNF中，NF=BF•sin

α

2

，
∴GF=2BF•sin

α

2

，
∵GF=GD+DF，
∴2BF•sin

α

2

=AF+mAF，
∴2BF•sin=（m+1）AF，
∴

AF

BF

=

2

m+1

sin

α

2

，
故答案為

2

m+1

sin

α

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，應(yīng)用直角三角函數(shù)解直角三角形等，本題的根據(jù)是構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形求得結(jié)果．