Question

如圖，在墻面OD（OD⊥OC）的右側(cè)有一個(gè)Rt△ACB，∠ACB=90°，BC=3cm，AB=5cm，且OA=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度在射線OA上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在OD上運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)從O開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）若△ABC與△POQ全等，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

 

cm/s；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP是直角三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定,勾股定理的逆定理

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，則OQ=xtcm，OP=t•1=t（cm），由勾股定理求出AC=4cm，根據(jù)全等得出方程組，求出即可；
（2）根據(jù)題意得出兩種情況，當(dāng)∠BPA=90°時(shí)，此時(shí)P和C重合，當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，求出AP的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）如圖1，

設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，則OQ=xtcm，OP=t•1=t（cm），
∵Rt△ACB，∠ACB=90°，BC=3cm，AB=5cm，
∴由勾股定理得：AC=4cm，
∵∠BCA=∠QOP=90°，
∴要使△ABC與△POQ全等，

xt=3 t=4

或

xt=4 t=3

，
解得：x=

4

3

或

3

4

，
故答案為：

4

3

或

3

4

；

（2）根據(jù)題意得：有兩種情況：當(dāng)∠BPA=90°時(shí)，此時(shí)P和C重合，如圖2，

此時(shí)t=8+4=12；
當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖3，

∵∠ABP=∠ACB=90°，∠BAC=∠BAP，
∴△BAC∽△PAB，
∴

AB

AP

=

AC

AB

，
∴

5

AP

=

3

5

，
∴AP=

25

3

，
∴t=8+

25

3

=

49

3

，
所以當(dāng)t=12秒或

49

3

秒時(shí)，△ABP是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討論，題目比較好，難度適中．