Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=

1

2

∠A，tan∠CBF=

1

3

，則CF的長為（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  1

  2

  3

• C、

  12

  5

• D、

  5

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：連接AE，根據(jù)AB是直徑，得出AE⊥BC，CE=EB，依據(jù)已知條件得出∠CBF=∠EAB，F(xiàn)B是圓的且線，進(jìn)而得出CB的長，然后根據(jù)割線定理求得CD的長，最后根據(jù)切割線定理求得FC．

解答：解：連接AE，
∵AB為直徑，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠EAB=

1

2

∠CAB，EB=CE=

1

2

CB，
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，tan∠CBF=

1

3

，
∴∠CBF=∠EAB，tan∠EAB=

EB

AE

=

1

3

，
∴∠CBF+∠ABC=∠EAB+∠ABC=90°，
∴FB是⊙O的切線，
∴FB²=FD•FA，
在RT△AEB中，AB=10，
∴EB=

10

，
∴CB=2

10

，CE=

10

，
∵CE•CB=CD•AC，AC=10，
∴CD=2，
∴AD=AC-CD=8，
設(shè)CF=x，則FD=x+2，F(xiàn)A=10+x，F(xiàn)B²=AF²-AB²=（10+x）²-10²，
∴（10+x）²-10²=（x+2）（10+x），
整理得：x=

5

2

，
∴CF=

5

2

，
故應(yīng)選A．

點評：本題考查了圓周角的性質(zhì)，解直角三角形和勾股定理的應(yīng)用，切割線定理等，求得FB是圓的切線是本題的關(guān)鍵．