Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，以AD為直徑作⊙O，連接BO并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得OE=OB，交⊙O于點(diǎn)F，連接AE，CE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）求證：四邊形ADCE是矩形；
（3）若BD=$\frac{1}{2}$AD=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，得出∠ODB=90°，從而得出△BOD≌△EOA，得出∠OAE=∠ODB=90°，即可；
（2）利用（1）△BOD≌△EOA和三角形的中線得出結(jié)論；
（3）先判斷出AE=OA=4，陰影部分面積用三角形OAE的面積減去扇形OAF的面積即可．

解答 解：（1）證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OA}\\{∠DOB=∠AOE}\\{OB=OE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∵點(diǎn)A在圓上，
∴AE是⊙O的切線；
（2）由（1）知，△BOD≌△EOA，
∴BD=AE，
∵AD是BC邊上的中線，
∴CD=BD，
∴AE=CD，
∵∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE∥BC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形
∵∠OAE=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形；
（3）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOE=45°
∵∠OAE=90°，
∴AE=OA=$\frac{1}{2}$AD=4
∴S_△OAE=$\frac{1}{2}$×OA×AE=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
S_扇形OAF=π×4²×$\frac{45}{360}$=2π，
∴S_陰影部分=S_△OAE-S_扇形OAF=8-2π．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定方法，平行四邊形，矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是△BOD≌△EOA，是中考�？碱}．