Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠DCB，AB=CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，連接BF、CF、AC．
（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）若DE²=BE•CE，求證：四邊形ABFC是矩形．

Answer 1

分析 （1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，即可得出結(jié)論；
（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對(duì)應(yīng)角相等，從而得到直角來證明有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．

解答 （1）證明：連接BD，如圖所示：
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，CD=CF，
∴AC=BF，AB=CF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）證明：∵DE²=BE•CE，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{DE}$，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四邊形ABFC是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等及相似三角形的判定及性質(zhì)等，是一道集合了好幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合題，但題目的難度不算大．