Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC，連接AD，點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)，且AM=CD，連接BM交AH于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)E．

（1）若AB=3，AD= ，求△BMC的面積；
（2）點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，求證：AD= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

在△ABM和△CAD中，

，

∴△ABM≌△CAD，

∴BM=AD= ，

∴AM= =1，

∴CM=CA﹣AM=2，

∴S△BCM= CMBA= 23=3．

（2）解：如圖2中，連接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．

∵AE=ED，∠ACD=90°，

∴AE=CE=ED，

∴∠EAC=∠ECA，

∵△ABM≌△CAD，

∴∠ABM=∠CAD，

∴∠ABM=∠MCE，

∵∠AMB=∠EMC，

∴∠CEM=∠BAM=90°，

∵△ABM∽△ECM，

∴ = ，

∴ = ，∵∠AME=∠BMC，

∴△AME∽△BMC，

∴∠AEM=∠ACB=45°，

∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，

∴∠PEQ=∠AEC，

∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，

∴△EPA≌△EQC，

∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC

∴BE平分∠ABC，

∴∠NBC=∠ABN=22.5°，

∵AH垂直平分BC，

∴NB=NC，

∴∠NCB=∠NBC=22.5°，

∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，

∴△ENC的等腰直角三角形，

∴NC= EC，∴AD=2EC，

∴2NC= AD，

∴AD= NC，

∵BN=NC，

∴AD= BN．

【解析】（1）首先根據(jù)SAS證出△ABM≌△CAD，推出BM=AD= ，然后根據(jù)勾股定理得出AM的長(zhǎng)，再推出CM=CA﹣AM=2，從而利用∴S△BCM= CMBA得出答案；
（2）如圖2中，連接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P，想辦法證出△ENC的等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題。
【考點(diǎn)精析】掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．