Question

16．如圖1，直線y=-$\frac{1}{2}$x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，與直線y=x交于點(diǎn)C，線段OA上的點(diǎn)Q以每秒1個長度單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AO方向點(diǎn)作勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，連結(jié)CQ．
（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）若CQ平分△OAC的面積，求直線CQ對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在X軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的面積為8？若存在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．
（4）若△OQC是等腰三角形，請求出t的值．

Answer 1

分析 （1）解兩函數(shù)解析式組成的方程組即可；
（2）求出Q的坐標(biāo)，設(shè)出解析式，把Q、C的坐標(biāo)代入求出即可；
（3）過C作CM⊥OA于M，根據(jù)三角形的面積公式解答即可；
（4）分為兩種情況，畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可

解答 解：（1）∵由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（2，2）；
（2）如圖1：

令$-\frac{1}{2}x+3=0$，得x=6，A（6，0）
由題意：Q（3，0），
設(shè)直線CQ的解析式是y=kx+b，
把C（2，2），Q（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=6，y=-2x+6；
（3）如圖2：

∵C（2，2），過C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM=2，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$CMⅹPA=$\frac{1}{2}$ⅹ2ⅹPA=8，
∴PA=8，
∴P的坐標(biāo)為（-2，0）或（14，0）．
（4）①、CO為底時，Q為頂點(diǎn)時，如圖3，

當(dāng)∠COQ=45°，CQ=OQ，
∵C（2，2），
∴OQ=CQ=2，
∴AQ=OA-OQ=6-2=4，
②CO為腰時，C為頂點(diǎn)時，如圖4，過C作CM⊥OA于M，

∵C（2，2），
∴CM=OM=2，
∴QM=OM=2，
∴AQ=OA-OQ=2，即t的值為2
③CO為底時，O為頂點(diǎn)時，如圖5：

OQ=OC=$2\sqrt{2}$，
AQ=AO-OQ=6-$2\sqrt{2}$或AQ=AO+OQ=6+$2\sqrt{2}$．
故答案為：t的值為2或4或6-$2\sqrt{2}$或6+$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，三角形的面積，等腰直角三角形等知識點(diǎn)的應(yīng)用，題目是一道比較典型的題目，綜合性比較強(qiáng)．