【題目】如圖,在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6,點D為BC邊上一動點(不與點B重合),過D作射線DE交AB邊于E,使BDE=A,以D為圓心、DC的長為半徑作D.

(1)設BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域.

(2)當D與AB邊相切時,求BD的長.

(3)如果E是以E為圓心,AE的長為半徑的圓,那么當BD的長為多少時,D與E相切?

【答案】(1) y=5-x(0<x≤);(2) ;(3)

【解析

試題分析:1)通過相似三角形BDE∽△BAC的對應邊成比例得到,把相關(guān)線段的長度代入并整理得到y(tǒng)=5-x(0<x≤);

(2)如圖,假設AB與D相切于點F,連接FD.通過相似三角形BFD∽△BGA的對應邊成比例得到.DF=6-BD,由勾股定理求得AG=4,BA=5,所以把相關(guān)線段的長度代入便可以求得BD的長度;

(3)分類討論:D與E相外切和內(nèi)切兩種情況.由(1)的相似三角形推知BD=ED.所以如圖2,當D與E相外切時.AE+CD=DE=BD;如圖3,當D與E相內(nèi)切時.CD-AE=DE=BD.

試題解析:(1)如圖,∵∠B=B,BDE=A,

∴△BDE∽△BAC,

AB=AC=5,BC=6,BD=x,AE=y,

,即y=5-x.

0<x≤6,且0≤y≤5,

0<x≤

綜上所述,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域為:y=5-x(0<x≤);

(2)如圖,假設AB與D相切于點F,連接FD,則DF=DC,BFD=90°.

過點A作AGBC于點G,則BGA=90°.

BFD和BGA中,BFD=BGA=90°,B=B,

∴△BFD∽△BGA,

AB=AC=5,BC=6,AGBC

BG=,AG=,

,解得BD=;

(3)由(1)知,BDE∽△BAC,

,即,

BD=DE.

如圖2,當D與E相外切時.

AE+CD=DE=BD,

由(1)知,BD=x,AE=y,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=5-x,

5-x+6-x=x,

解得,x=,符合0<x≤,

BD的長度為

如圖3,當D與E相內(nèi)切時.CD-AE=DE=BD,

由(1)知,BD=x,AE=y,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=5-x,

6-x-5+x=x,

解得,x=,符合0<x≤,

BD的長度為

綜上所述,BD的長度是

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