Question

5．閱讀理解，我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四邊形，如圖1，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH．
（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)M在AB上且△AMD和△MCB為等邊三角形，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，試判斷四邊形EFGH的形狀并證明．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由三角形中位線定理得出EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，得出EF∥GH，EF=GH，即可得出結(jié)論；
（2）連接AC、DB，由等邊三角形的性質(zhì)得出AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，證出∠AMC=∠DMB，由SAS證明△AMC≌△DMB，得出AC=DB，由三角形中位線定理得出EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$DB，得出EF∥GH，EF=GH，證出四邊形EFGH是平行四邊形；再得出EF=HE，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；
理由如下：連接AC，如圖1所示：
∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，GH是△ACD的中位線，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；
（2）四邊形EFGH為菱形．理由如下：
連接AC與BD，如圖2所示：
∵△AMD和△MCB為等邊三角形，
∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，
∴∠AMC=∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=DM}&{\;}\\{∠AMC=∠DMB}&{\;}\\{CM=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△DMB（SAS），
∴AC=DB，
∵∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，GH是△ACD的中位線，HE是△ABD的中位線，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$DB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
∵AC=DB，
∴EF=HE，
∴四邊形EFGH為菱形．

點(diǎn)評 本題考查了中點(diǎn)四邊形、菱形的判定方法、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握中點(diǎn)四邊形，證明三角形全等得出AC=DB是解決問題（2）的關(guān)鍵．