【題目】如圖,已知二次函數(shù) 的圖象過點(diǎn),一次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(1)求值并寫出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)求值;
(3)設(shè)直線與二次函數(shù)圖象交于兩點(diǎn),過作垂直軸于點(diǎn),
試證明:;
(4)在(3)的條件下,請判斷以線段為直徑的圓與軸的位置關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1),;(2)2;(3)證明見解析;(4)相切
【解析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式中可求出a值,進(jìn)而可得出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式中可求出b值;
(3)過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,x2+1),則MC=x2+1,由勾股定理可求出MB的長度,進(jìn)而可證出MB=MC;
(4)過點(diǎn)N作ND⊥x軸于D,取MN的中點(diǎn)為P,過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H,交PF于點(diǎn)Q,由(3)的結(jié)論可得出MN=NB+MB=ND+MC,利用中位線定理可得出PQ=MH,進(jìn)而可得出PF=MN,由此即可得出以MN為直徑的圓與x軸相切.
(1)∵二次函數(shù)y=ax2+1(a≠0,a為實(shí)數(shù))的圖象過點(diǎn)A(-2,2),
∴2=4a+1,解得:a=,
∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+1.
(2)∵一次函數(shù)y=kx+b(k≠0,k,b為實(shí)數(shù))的圖象l經(jīng)過點(diǎn)B(0,2),
∴2=k×0+b,
∴b=2.
(3)證明:過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E,如圖1所示.
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,x2+1),則MC=x2+1,
∴ME=|x|,EB=|x2+1-2|=|x2-1|,
∴MB= x2+1.
∴MB=MC.
(4)相切,理由如下:
過點(diǎn)N作ND⊥x軸于D,取MN的中點(diǎn)為P,過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H,交PF于點(diǎn)Q,如圖2所示.
由(3)知NB=ND,
∴MN=NB+MB=ND+MC.
∵點(diǎn)P為MN的中點(diǎn),PQ∥MH,
∴PQ=MH.
∵ND∥HC,NH∥DC,且四個(gè)角均為直角,
∴四邊形NDCH為矩形,
∴QF=ND,
∴PF=PQ+QF=MH+ND=(ND+MH+HC)=(ND+MC)=MN.
∴以MN為直徑的圓與x軸相切.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,A、C、F、D在同一直線上,AF=DC,AB∥DE,AB=DE.
求證:(1) △ABC≌△DEF;
(2)BC∥EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們定義:在一個(gè)三角形中,如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的3倍,那么這樣的三角形我們稱之為“和諧三角形”.如:三個(gè)內(nèi)角分別為105°,40°,35°的三角形是“和諧三角形”
概念理解:如圖1,∠MON=60°,在射線OM上找一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B,以A為端點(diǎn)作射線AD,交線段OB于點(diǎn)C(點(diǎn)C不與O,B重合)
(1)∠ABO的度數(shù)為______,△AOB______(填“是”或“不是”)“和諧三角形”;
(2)若∠ACB=80°,求證:△AOC是“和諧三角形”.
應(yīng)用拓展:(3)如圖2,點(diǎn)D在△ABC的邊AB上,連接DC,作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E,在DC上取點(diǎn)F,使∠EFC+∠BDC=180°,∠DEF=∠B.若△BCD是“和諧三角形”,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一組數(shù)據(jù),,的平均數(shù)為4,方差為3,那么數(shù)據(jù),,的平均數(shù)和方差分別是( )
A. 4, 3 B. 6 3 C. 3 4 D. 6 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年是我市全面推進(jìn)中小學(xué)校“社會主義核心價(jià)值觀”教育年.某校對全校學(xué)生進(jìn)行了中期檢測評價(jià),檢測結(jié)果分為(優(yōu)秀)、(良好)、(合格)、(不合格)四個(gè)等級.并隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的檢測結(jié)果作為樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,制作了如下所示不完整的統(tǒng)計(jì)表(圖1)和統(tǒng)計(jì)圖(圖2).
請根據(jù)圖1、圖2提供的信息,解答下列問題:
(1)本次隨機(jī)抽取的樣本容量為
(2) , .
(3)請?jiān)趫D2中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(4)若該校共有學(xué)生800人,據(jù)此估算,該校學(xué)生在本次檢測中達(dá)到“(優(yōu)秀)”等級的學(xué)生人數(shù)為 人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(9分)某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)800件T恤,第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售,售出了200件;第二個(gè)月如果單價(jià)不變,預(yù)計(jì)仍可售出200件,批發(fā)商為增加銷售量,決定降價(jià)銷售,根據(jù)市場調(diào)查,單價(jià)每降低1元,可多售出10件,但最低單價(jià)應(yīng)高于購進(jìn)的價(jià)格;第二個(gè)月結(jié)束后,批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售,清倉是單價(jià)為40元,設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低元.
(1)填表:(不需化簡)
(2)如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元,那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某自動化車間計(jì)劃生產(chǎn)480個(gè)零件,當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)完成一半時(shí),停止生產(chǎn)進(jìn)行自動化程序軟件升級,用時(shí)20分鐘,恢復(fù)生產(chǎn)后工作效率比原來提高了,結(jié)果完成任務(wù)時(shí)比原計(jì)劃提前了40分鐘,求軟件升級后每小時(shí)生產(chǎn)多少個(gè)零件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置,連結(jié)AD,BD,則下列結(jié)論:①AD=BC;②BD,AC互相平分;③四邊形ACED是菱形;④BD=BE;其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,由12個(gè)形狀、大小完全相同的小矩形組成一個(gè)大的矩形網(wǎng)格,小矩形的頂點(diǎn)稱為這個(gè)矩形網(wǎng)格的格點(diǎn),已知這個(gè)大矩形網(wǎng)格的寬為6,△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn).
(1)求每個(gè)小矩形的長與寬;
(2)在矩形網(wǎng)格中找一格點(diǎn)E,使△ABE為直角三角形,求出所有滿足條件的線段AE的長度.
(3)求sin∠BAC的值.
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