Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，弦DE∥BA，交AC于點F，OF與AD有怎樣的位置關(guān)系，為什么？

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)AD與CF相交于點G，連接OA，OD，根據(jù)AD平分∠BAC得出∠BAD=∠2，再由AB∥DE，得出∠BAD=∠1，故可得出∠1=∠2，即AF=DF，由SSS定理得出△AOF≌△DOF，故∠3=∠4，根據(jù)ASA定理得出△AGF≌△DGF，由此可得出結(jié)論．

解答：解：OF垂直平分AD．
理由：設(shè)AD與CF相交于點G，連接OA，OD，
∵OA、OD是⊙O的半徑，
∴OA=OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠2．
∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AF=DF．
在△AOF與△DOF中，

AF=DE OA=OD OF=OF

，
∴△AOF≌△DOF（SSS），
∴∠3=∠4．
在△AGF與△DGF中，

∠2=∠1 AF=DF ∠3=∠4

，
∴△AGF≌△DGF（ASA），
∴AG=DG，∠AGF=∠DGF．
∵∠AGF+∠DGF=180°，
∴∠AGF=∠DGF=90°，
∴OF垂直平分AD．

點評：本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟知角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．