Question

如圖，PA與PB切⊙O于A、B，C為優(yōu)弧

AB

上一點(diǎn)，連接BC，作PD∥AC交BC于D．
（1）求證：點(diǎn)D、A、O、P、B共圓；
（2）求證：D為弦MN中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,平行線的性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,切線長定理

專題：證明題

分析：（1）連接OA、OB、OP，根據(jù)切線的性質(zhì)、切線長定理及平行線的性質(zhì)可證到∠PDB=∠POB，從而可得P、B、D、O四點(diǎn)共圓，由∠PAO+∠PBO=180°可得P、B、O、A四點(diǎn)共圓，就可得到D、A、O、P、B共圓．
（2）由P、B、D、O四點(diǎn)共圓可得∠ODP=∠OBP=90°，即OD⊥MN，根據(jù)垂徑定理就可得到D為弦MN中點(diǎn)．

解答：證明：（1）連接OA、OB、OP，如圖所示．
∵PA、PB是圓的切線，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO=∠BPO，
∴∠AOP=∠POB．
∵∠C=

1

2

∠AOB，
∴∠C=∠POB
∵PD∥AC，
∴∠C=∠PDB，
∴∠PDB=∠POB，
∴P、B、D、O四點(diǎn)共圓．
∵∠PAO+∠PBO=180°，
∴P、B、O、A四點(diǎn)共圓，
∴D、A、O、P、B共圓．

（2）∵P、B、D、O四點(diǎn)共圓，
∴∠ODP=∠OBP=90°，
∴OD⊥MN，
∴DN=DM，即D為弦MN中點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定、切線長定理、圓周角定理、垂徑定理、平行線的性質(zhì)等知識，掌握四點(diǎn)共圓的判定方法（判定1：若線段同側(cè)的兩點(diǎn)對線段的張角相等，則這兩點(diǎn)以及線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓；判定2：若四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對角，則這四點(diǎn)共圓）是解決本題的關(guān)鍵．