Question

【題目】已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（6，0）、B（6，4），D是BC的中點(diǎn)．動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿著OA、AB、BD運(yùn)動．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒（0<t<13）．

（1）寫出△POD的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出△POD的面積等于9時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動時，連結(jié)CP．問：是否存在某一時刻t，當(dāng)CP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)C能恰好落到AB的中點(diǎn)M處？若存在，請求出t的值并判斷此時△CPM的形狀；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，試探索當(dāng)PO+PD的長最短時的直線PD的表達(dá)式。

Answer 1

【答案】（1）（4．5，0）（2，4）（2）存在（3）y=-

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，然后分三種情況求解：當(dāng)0＜t≤6，如圖1，OP=t，根據(jù)三角形面積公式得S=2t，再求出S=9所對應(yīng)的t的值，然后寫出此時P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)6＜t≤10，如圖2，則AP=t-6，BP=10-t，利用S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD得到S=-t+21，再求出S=9所對應(yīng)的t的值，然后寫出此時P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)10＜t＜13，如圖3，則PB=13-t，根據(jù)三角形的面積公式得S=-2t+26，由于S=9時，計(jì)算出t=7．5，而7．5不合題意故舍去；

（2）如圖4，E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PC=PE，在Rt△POC中，利用勾股定理得PC2=t2+42；在Rt△PAE中，利用勾股定理得到PE2=（6-t）2+22，則t2+42=（6-t）2+22，解方程得t=2．

（3）根據(jù)對稱性找到P點(diǎn)的對稱點(diǎn)P1，找到D點(diǎn)，然后求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式．

試題解析：（1）∵矩形OABC的頂點(diǎn)A（6，0）、B（6，4），D是BC的中點(diǎn)，

∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，

當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動時，即0＜t≤6，如圖1，OP=t，S=t4=2t；

∵S=9，

∴2t=9，解得t=4．5，

∴此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（4．5，0）；

當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，即6＜t≤10，如圖2，AP=t-6，BP=10-t，S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD

=4×6-4×3-6（t-6）-3（10-t）

=-t+21；

∵S=9，

∴-t+21=9，解得t=8，

∴此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；

當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動時，即10＜t＜13，如圖3，PB=13-t，S=（13-t）4=-2t+26；

∵S=9，

∴-2t+26=9，解得t=7．5（不合題意舍去）；

（2）存在．

如圖4，E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，

∵CP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)C能恰好落到AB的中點(diǎn)，

∴PC=PE，

在Rt△POC中，OC=4，OP=t，

∴PC2=OP2+OC2=t2+42，

在Rt△PAE中，AE=2，PA=6-t，

∴PE2=PA2+AE2=（6-t）2+22，

∴t2+42=（6-t）2+22，解得t=2，

即當(dāng)t=2s時，當(dāng)CP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)C能恰好落到AB的中點(diǎn)處．

（3）y=-