Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c（a＞0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為D，與該圖象的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，且DE：EF：FB＝1：1：2．

（1）求證：點(diǎn)F為OC的中點(diǎn)；

（2）連接OE，若△OBE的面積為2，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；

（3）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為P，問(wèn)：以DF為直徑的圓是否可能恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P？若可能，請(qǐng)求出此時(shí)二次函數(shù)的關(guān)系式；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）以DF為直徑的圓能夠恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，

【解析】

（1）首先得出對(duì)稱(chēng)軸，再表示出D，C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用全等三角形的判定方法得出△DCF≌△BOF，進(jìn)而求出答案；

（2）首先得出F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，進(jìn)而得出答案；

（3）由（1）可得F（0， ），E（﹣1， ），再利用EP＝DE，進(jìn)而得出關(guān)于a，c的等式，進(jìn)而求出答案．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM∥FO，

∵y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，

∴它的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1，

∵DE：EF：FB＝1：1：2，且DM∥NE∥OF，

∴B（2，0），且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，

由此可得D（﹣2，c），

∵點(diǎn)C（0，c），

∴D、C關(guān)于x＝﹣1對(duì)稱(chēng)，

故∠DCF＝90°，

在△DCF和△BOF中

∴△DCF≌△BOF，

∴OF＝CF，

即點(diǎn)F為CO的中點(diǎn)．

（2）∵△OBE的面積為2，B（2，0），

∴E（﹣1，﹣2），

∵OF∥NE，

∴△BOF∽△BNE，

∴

∴

解得：FO＝ ，

由此可得F（0，﹣ ），C（0，﹣ ），

把B（2，0），C（0，﹣）代入y＝ax2+2ax+c得

解得：

∴拋物線(xiàn)解析式為：

（3）以DF為直徑的圓能夠恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，

由（1）可得F（0， ），E（﹣1， ），D（﹣2，c），

∴

要使以DF為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，有EP＝

∵E（﹣1，），P（﹣1，c﹣a），

∴EP＝

∴

另一方面，由B（2，0）可得8a+c＝0，即c＝﹣8a，

把它代入上式可得a＝ ，

∴