Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長(zhǎng)分別是方程x²-7x+12=0的兩根（OA＜OB），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先求出方程的根，再根據(jù)OA＜OB得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)題意得出AP=t，AQ=5-2t，再分當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB；當(dāng)∠AQP=∠AOB 時(shí)，△APQ∽△ABO兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）x²-7x+12=0
解得x₁=3，x₂=4
∵OA＜OB
∴OA=3，OB=4
∴A（0，3），B（4，0）；

（2）由題意得，AP=t，AQ=5-2t
可分兩種情況討論：
①當(dāng)∠APQ=∠AOB 時(shí)，△APQ∽△AOB，
如圖1，

t

3

=

5-2t

5

，
解得，t=

15

11

；
②當(dāng)∠AQP=∠AOB 時(shí)，△APQ∽△ABO，
如圖2，

t

5

=

5-2t

3

，
解得，t=

25

13

．
綜上所述，當(dāng)t=

15

11

秒或t=

25

13

秒時(shí)，△APQ與△AOB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，在解答（2）時(shí)要注意分兩種情況進(jìn)行討論，不要漏解．