Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)P在邊BC上，聯(lián)結(jié)AP，將△ABP繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)P與邊AC的中點(diǎn)M重合，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，則BB′的長(zhǎng)等于_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如圖，延長(zhǎng)AB'交BC于E，過(guò)點(diǎn)B'作B'D⊥AB于點(diǎn)D，由勾股定理可求AC的長(zhǎng)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求AP＝AM＝，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，通過(guò)證明△ABP∽△CBA，可得∠PAB＝∠C，可得CE＝AE，由勾股定理可求CE，BE的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)可求B'D，BD的長(zhǎng)，即可求解．

解：如圖，延長(zhǎng)AB'交BC于E，過(guò)點(diǎn)B'作B'D⊥AB于點(diǎn)D，

∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，

∴AC＝2，

∵點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，

∴AM＝，

∵將△ABP繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)P與邊AC的中點(diǎn)M重合，

∴AP＝AM＝，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，

∵AP2＝AB2+PB2，

∴PB＝1，

∵，且∠ABP＝∠ABC＝90°，

∴△ABP∽△CBA，

∴∠PAB＝∠C，

∴∠C＝∠CAE，

∴CE＝AE，

∵AE2＝AB2+BE2，

∴CE2＝4+（4﹣CE）2，

∴CE＝AE＝，

∴BE＝，

∵B'D∥BC，

∴△AB'D∽△AEB，

∴,

∴，

∴AD＝，B'D＝，

∴BD＝，

∴BB'＝＝，

故答案為：．