【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以點(diǎn)A為圓心,AC為半徑,作⊙A交AB于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF交⊙A于點(diǎn)F,連接AF、BF、DF
(1)求證:BF是⊙A的切線.
(2)當(dāng)∠CAB等于多少度時(shí),四邊形ADFE為菱形?請(qǐng)給予證明.
【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)∠CAB=60°時(shí),四邊形ADFE為菱形;證明見解析;
【解析】
分析(1)首先利用平行線的性質(zhì)得到∠FAB=∠CAB,然后利用SAS證得兩三角形全等,得出對(duì)應(yīng)角相等即可;
(2)當(dāng)∠CAB=60°時(shí),四邊形ADFE為菱形,根據(jù)∠CAB=60°,得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°,從而得到EF=AD=AE,利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷四邊形ADFE是菱形.
(1)證明:∵EF∥AB
∴∠FAB=∠EFA,∠CAB=∠E
∵AE=AF
∴∠EFA =∠E
∴∠FAB=∠CAB
∵AC=AF,AB=AB
∴△ABC≌△ABF
∴∠AFB=∠ACB=90°, ∴BF是⊙A的切線.
(2)當(dāng)∠CAB=60°時(shí),四邊形ADFE為菱形.
理由:∵EF∥AB
∴∠E=∠CAB=60°
∵AE=AF
∴△AEF是等邊三角形
∴AE=EF,
∵AE=AD
∴EF=AD
∴四邊形ADFE是平行四邊形
∵AE=EF
∴平行四邊形ADFE為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形紙片ABCD中,AB=4,∠A=60°,將菱形紙片翻折,使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上.則sin∠EFG的值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表中給出了變量x,與y=ax2,y=ax2+bx+c之間的部分對(duì)應(yīng)值,(表格中的符號(hào)“…”表示該項(xiàng)數(shù)據(jù)已丟失)
x | ﹣1 | 0 | 1 |
ax2 | … | … | 1 |
ax2+bx+c | 7 | 2 | … |
(1)求拋物線y=ax2+bx+c的表達(dá)式
(2)拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D,與y軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),直線AM交對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B,當(dāng)△ADM與△BDM的面積比為2:3時(shí),求B點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,設(shè)線段BD與x軸交于點(diǎn)C,試寫出∠BAD和∠DCO的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1,0)、C(2,3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)M(3,n),求使MN+MD取最小值時(shí)n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知,在邊上順次取點(diǎn),,…,在邊上順次取點(diǎn),,…,使得…,得到等腰△,△,△,△…
(1)若=30°,可以得到的最后一個(gè)等腰三角形是_________;
(2)若按照上述方式操作,得到的最后一個(gè)等腰三角形是△,則的度數(shù)的取值范圍是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且∠ABC=90°,則∠DAB的度數(shù)是______°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為2b的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線剪開,可分成四塊小長(zhǎng)方形.
(1)求出圖1的長(zhǎng)方形面積;
(2)將四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)圖2的正方形.利用陰影部分面積的不同表示方法,直接寫出代數(shù)式(a+b)2、(a-b)2、ab之間的等量關(guān)系;
(3)把四塊小長(zhǎng)方形不重疊地放在一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部(如圖3),未被覆蓋的部分用陰影表示.求兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和(用含m、n的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長(zhǎng)為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).
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