Question

2．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（-1，2）和點(diǎn)N（1，-2），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C．則：①b=-2； ②該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸； ③存在這樣一個(gè)a，使得M、A、C三點(diǎn)在同一條直線上； ④若a=1，則OA•OB=OC²．以上說法正確的有（　　）

• A． ①②③④
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（-1，2）和點(diǎn)N（1，-2），代入可得a、b、c的關(guān)系，然后通過變形可以得到b的值，即可判斷①是否正確；
②根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（-1，2）和點(diǎn)N（1，-2），代入可得a、b、c的關(guān)系，通過變形可以得到a、c的關(guān)系，由a＞0，即可判斷c的正負(fù)，從而可以判斷②是否正確；
③求出過點(diǎn)M、C的直線解析式，然后令y=0，求出相應(yīng)的x的值，然后將x的值代入二次函數(shù)的解析式，看是否有a的值使得二次函數(shù)的值等于，注意a的值必須大于0，從而可以判斷③是否正確；
④根據(jù)a的值可以得到二次函數(shù)的解析式，從而可以推出結(jié)論是否正確．

解答 解：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（-1，2）和點(diǎn)N（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=2}&{①}\\{a+b+c=-2}&{②}\end{array}\right.$
②-①，得2b=-4，
解得b=-2，故①b=-2正確；
②+①，得2（a+c）=0，
∴a+c=0，
∵a＞0，
∴c=-a＜0，故②正確；
設(shè)過點(diǎn)M（-1，2），點(diǎn)C（0，c）的直線的解析式為y=kx+m
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+m=2}\\{m=c}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=c-2}\\{m=c}\end{array}\right.$
∴y=（c-2）x+c，
∵c=-a，
∴y=（-a-2）x-a，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{-a}{a+2}$，
將x=$\frac{-a}{a+2}$代入y=ax²-2x-a，得y=$\frac{-2{a}^{2}}{（a+2）^{2}}$，
令$\frac{-2{a}^{2}}{（a+2）^{2}}$=0，得a=0，
∵a＞0，∴a=0不符題意，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)a=1時(shí)，二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-1，
∴當(dāng)y=0時(shí)，設(shè)x²-2x-1=0的兩根為x₁，x₂，
∴${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{-1}{1}=-1$，
∴OA•OB=|x₁|•|x₂|=|-1|=1=（-1）²=OC²，故④正確；
故選C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求結(jié)論需要的條件，可以判斷所求結(jié)論是否正確．