Question

19．如圖，⊙O的直徑AB=4，sin∠ABC=$\frac{1}{2}$，BC交⊙O于D，D是BC的中點．
（1）求BC的長；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）連接AD．由圓周角定理可知∠ADB=90°，然后由含30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得BD的長，從而可求得BC的長；
（2）連接OD．由三角形的中位線定理可得到OD∥AC，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)定理得到∠ODE=∠CED，從而可證明∠EDO=90°，故此可證明DE是圓的切線．

解答 解：如圖1所示：連接AD．

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
又∵sin∠ABC=$\frac{1}{2}$，AB=4，
∴∠ABC=30°．
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2．
∴Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵D是BC的中點，
∴BC=2DB=4$\sqrt{3}$．
（2）連接OD．

∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴OD∥AC．
∴∠EDO=∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠EDO=90°．
∴DE是⊙O的切線．

點評 本題主要考查的是切線的判定、三角形中位線定理、勾股定理的應(yīng)用、含30°直角三角形的性質(zhì)，由三角形的中位線定理證得OD∥AC是解題的關(guān)鍵．