Question

【題目】如圖，直線y= x﹣ 與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y= （k＞0）圖象交于點C，D，過點A作x軸的垂線交該反比例函數(shù)圖象于點E．

（1）求點A的坐標(biāo)．
（2）若AE=AC．
①求k的值．
②試判斷點E與點D是否關(guān)于原點O成中心對稱？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=0時，得0= x﹣ ，解得：x=3．

∴點A的坐標(biāo)為（3，0）

（2）

解：①過點C作CF⊥x軸于點F，如圖所示．

設(shè)AE=AC=t，點E的坐標(biāo)是（3，t），

在Rt△AOB中，tan∠OAB= = ，

∴∠OAB=30°．

在Rt△ACF中，∠CAF=30°，

∴CF= t，AF=ACcos30°= t，

∴點C的坐標(biāo)是（3+ t， t）．

∴（3+ t）× t=3t，

解得：t1=0（舍去），t2=2 ．

∴k=3t=6 ．

②點E與點D關(guān)于原點O成中心對稱，理由如下：

設(shè)點D的坐標(biāo)是（x， x﹣ ），

∴x（ x﹣ ）=6 ，解得：x1=6，x2=﹣3，

∴點D的坐標(biāo)是（﹣3，﹣2 ）．

又∵點E的坐標(biāo)為（3，2 ），

∴點E與點D關(guān)于原點O成中心對稱

【解析】（1）令一次函數(shù)中y=0，解關(guān)于x的一元一次方程，即可得出結(jié)論；（2）①過點C作CF⊥x軸于點F，設(shè)AE=AC=t，由此表示出點E的坐標(biāo)，利用特殊角的三角形函數(shù)值，通過計算可得出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
②根據(jù)點在直線上設(shè)出點D的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于點D橫坐標(biāo)的一元二次方程，解方程即可得出點D的坐標(biāo)，結(jié)合①中點E的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、解一元二次方程以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）令一次函數(shù)中y=0求出x的值；（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出關(guān)于點的橫坐標(biāo)的一元二次方程是關(guān)鍵．