【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<180°),得到△A'B'C.
(1)如圖1,當(dāng)AB∥CB'時(shí),設(shè)A'B'與CB相交于點(diǎn)D,求證:△A'CD是等邊三角形.
(2)若E為AC的中點(diǎn),P為A'B'的中點(diǎn),則EP的最大值是多少,這時(shí)旋轉(zhuǎn)角θ為多少度.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)當(dāng)AB∥CB′時(shí),∠BCB′=∠B=∠B′=30°,則∠A′CD=90°﹣∠BCB′=60°,∠A′DC=∠BCB′+∠B′=60°,可證:△A′CD是等邊三角形;
(2)連接CP,當(dāng)E、C、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),EP最長(zhǎng),根據(jù)圖形求出此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及EP的長(zhǎng).
(1)證明:∵AB∥CB′,
∴∠B=∠BC B′=30°,
∴∠BC A′=90°﹣30°=60°,
∵∠A′=∠A=60°,
∴△A′CD是等邊三角形;
(2)如圖,連接CP,當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到E、C、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),EP最長(zhǎng),
此時(shí)θ=∠ACA1=120°,
∵∠B′=30°,∠A′CB′=90°,
設(shè)AC=a,
∴A′C=AC=A′B′=a,
∵AC中點(diǎn)為E,A′B′中點(diǎn)為P,∠A′CB′=90°
∴CP=A′B′=a,EC=a,
∴EP=EC+CP=a+a=AC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線(xiàn)y=-x+2 與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),圓心P的坐標(biāo)為(-2,0),⊙P與y軸相切于點(diǎn)O.若將⊙P沿x軸向右移動(dòng),當(dāng)⊙P與該直線(xiàn)相交時(shí),滿(mǎn)足橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)C、D在線(xiàn)段AB上,若點(diǎn)C是線(xiàn)段AD的中點(diǎn),2BD>AD,則下列結(jié)論正確的是( ).
A. CD<AD- BD B. AB>2BD C. BD>AD D. BC>AD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,然后回答問(wèn)題.
①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子,其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn): 以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化.
②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想,其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想,它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算,比如我們熟悉的下面這個(gè)題:已知 ab2,ab 3 ,求 a2 b2 .我們可以把ab和ab看成是一個(gè)整體,令 xab , y ab ,則 a 2 b2 (a b)2 2ab x2 2y 4 610.這樣,我們不用求出a,b,就可以得到最后的結(jié)果.
(1)計(jì)算:
(2)已知 m 是正整數(shù), a ,b 且 2a2 1823ab 2b2 2019 .求 m.
(3)已知,則的值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在路燈下,小明的身高如圖中線(xiàn)段AB所示,他在地面上的影子如圖中線(xiàn)段AC所示,小亮的身高如圖中線(xiàn)段FG所示,路燈燈泡在線(xiàn)段DE上.
(1)請(qǐng)你確定燈泡所在的位置,并畫(huà)出小亮在燈光下形成的影子.
(2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子長(zhǎng)AC=1.4m,且他到路燈的距離AD=2.1m,求燈泡的高.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等腰直角三角形 ABC 中,BAC 90° ,AB AC 6 ,D,E 是線(xiàn)段 BC 上的動(dòng)點(diǎn),且 DAE 45°
(1)如圖 1,請(qǐng)直接寫(xiě)出 BD,DE,EC 滿(mǎn)足的關(guān)系式為 ,
(2)①如圖 1, CE 3 ,請(qǐng)求出 ADE 的面積(寫(xiě)出過(guò)程);
②如圖 2, EAC 30° ,請(qǐng)求出 CE 的長(zhǎng)度(寫(xiě)出過(guò)程);
(3) 如圖 3,D,E 運(yùn)動(dòng)到了線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且滿(mǎn)足 DAE 135°,CE=8,直接寫(xiě)出 BD的長(zhǎng)為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD=6,AB=4,E為AB的中點(diǎn),F在邊BC上,且BF=2FC,AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M,N,則MN的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑CD垂直于弦AB,垂足為E,F為DC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且∠CBF=∠CDB.
(1)求證:FB為⊙O的切線(xiàn);
(2)若AB=8,CE=2,求sin∠F.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面從認(rèn)知、延伸、應(yīng)用三個(gè)層面來(lái)研究一種幾何模型.
(1)如圖,已知點(diǎn)E是線(xiàn)段BC上一點(diǎn),若∠AED=∠B=∠C.求證 △ABE∽△ECD.
(2)如圖,已知點(diǎn)E、F是線(xiàn)段BC上兩點(diǎn),AE與DF交于點(diǎn)H,若∠AHD=∠B=∠C.
求證:△ABE∽△FCD.
(3)如圖,⊙O是等邊△ABC的外接圓,點(diǎn)D是上一點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E;連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F. 猜想BF、BC、CE三線(xiàn)段的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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