【題目】下面從認(rèn)知、延伸、應(yīng)用三個(gè)層面來研究一種幾何模型.

1)如圖,已知點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn),若∠AED=∠B=∠C.求證 ABE∽△ECD

2)如圖,已知點(diǎn)E、F是線段BC上兩點(diǎn),AEDF交于點(diǎn)H,若∠AHD=∠B=∠C

求證:△ABE∽△FCD

3)如圖,⊙O是等邊△ABC的外接圓,點(diǎn)D上一點(diǎn),連接BD并延長交AC的延長線于點(diǎn)E;連接CD并延長交AB的延長線于點(diǎn)F. 猜想BF、BC、CE三線段的關(guān)系,并說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)BC2=BF×CE.

【解析】

(1)利用△ABE的外角關(guān)系證出∠A=∠DEC,又∠B=∠C,從而△ABE∽△ECD;

(2)利用△ABE△EFH的外角關(guān)系證出∠A=∠DFC,又∠B=∠C,從而△ABE∽△FCD;

(3)由圓的內(nèi)接四邊形和等邊三角形的性質(zhì)可知∠BDC=CBF=ECB=120°,△CDE的外角關(guān)系可得∠E=∠DCB,從而可證△FBC∽△BCE,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=從而得到BC2=BF×CE.

證明:(1)∵∠AEC△ABE的外角,

∴∠AEC=∠A+∠B,

∵∠AEC=∠AED+∠DEC,

∴∠A+∠B=∠AED+∠DEC,

∵∠B=∠AED,

∴∠A=∠DEC,

∵∠B=∠C,

∴△ABE∽△ECD;

(2)∵∠AEC△ABE的外角,

∴∠AEC=∠A+∠B,

∵∠HEC△EFH的外角,

∴∠AEC=∠HFE+∠FHE,

∴∠A+∠B=∠HFE+∠FHE,

∵∠B=∠AHD,∠AHD=∠FHE,∴∠B=∠FHE,

∴∠A=∠HFE,

∵∠B=∠C,

∴△ABE∽△FCD;

(3)∵四邊形ABDC⊙O的內(nèi)接四邊形,

∴∠BDC+∠A=180°,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°,

∴∠BDC=CBF=ECB=120°,

∵∠FDE△CDE的外角,

∴∠FDE=E+DCE=120°,

∵∠DCB+∠DCE=120°,

∴∠E=∠DCB,

∴△FBC∽△BCE,

=

∴BC2=BF×CE.

故答案為:(1)見解析;(2)見解析;(3)BC2=BF×CE.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<180°),得到△A'B'C

(1)如圖1,當(dāng)ABCB'時(shí),設(shè)A'B'與CB相交于點(diǎn)D,求證:△A'CD是等邊三角形.

(2)若EAC的中點(diǎn),PA'B'的中點(diǎn),則EP的最大值是多少,這時(shí)旋轉(zhuǎn)角θ為多少度.

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(1)求 n k 的值;

(2)以 AB 為邊作菱形 ABCD,使點(diǎn) C x 軸正半軸上,點(diǎn) D 在第一象限,求點(diǎn) D 的坐標(biāo);

(3)觀察反比例函數(shù)y=的圖象,當(dāng) y>﹣2 時(shí),請(qǐng)直接寫出自變量 x 的取值范圍.

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【題目】如圖,二次函數(shù)yax2+bx+ca0)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,下列結(jié)論正確的有_____(填序號(hào)).

若圖象過點(diǎn)(﹣3,y1)、(2,y2),則y1y2;

ac0;

③2ab0;

b24ac0

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【題目】如圖,點(diǎn)A(m,6),B(n,1)在反比例函數(shù)y=的圖象上,ADx軸于點(diǎn)D,BCx軸于點(diǎn)C,點(diǎn)ECD上,CD=5,ABE的面積為10,則點(diǎn)E的坐標(biāo)是(  )

A. (3,0) B. (4,0) C. (5,0) D. (6,0)

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的位置如圖所示.(每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形)

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A'B'C';

(2)將△A'B'C'繞點(diǎn)C'順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△ABC″,并直接寫出此過程中線段C'A'掃過圖形的面積.(結(jié)果保留π)

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(1)求△BEF的周長與△AFD的周長之比;

(2)若△BEF的面積S△BEF=6cm2.求△AFD的面積S△AFD

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1)求直線AB的解析式;

2)過點(diǎn)ABC的平行線交軸于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

3)在(2)的條件下,點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)且在軸的上方,如果以點(diǎn)D、EP、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積等于△ABC,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),并直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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