【題目】如圖,在RtABC中,點O在斜邊AB上,以O為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC、AB相交于點D、E,連接AD,已知∠CAD=∠B.

1)求證:AD是⊙O的切線;

2)若∠B30°,AC,求劣弧BD與弦BD所圍陰影圖形的面積;

3)若AC4,BD6,求AE的長.

【答案】1)見解析;(2;(3

【解析】

1)連接OD,由OD=OB,利用等邊對等角得到一對角相等,再由已知角相等,等量代換得到∠1=3,求出∠490°,即可證AD是⊙O的切線;

2)連接OD,作OFBDF,由直角三角形的性質(zhì)得出CDAC1,BCAC3, AC=3,得出BD=BC-CD=2,由直角三角形的性質(zhì)得出DFBFBD1OFBF,得出OB2OF,由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出結果;(3)證明△ACD∽△BCA,得出,求出CD=2,由勾股定理得出AD,求出AB=4,在RtAOD中,AD2 +OD2 =OA2,設⊙O的半徑為x,則OA=4-x,解關于x的方程,BE=2x,求出BE后,根據(jù)AE=AB-BE,直接計算AE的長即可;

1)證明:連接OD,如圖1所示:

OBOD,

∴∠3=∠B

∵∠B=∠1,

∴∠1=∠3,

RtACD中,∠1+290°,

∴∠4180°﹣(∠2+3)=90°,

ODAD,

AD為⊙O的切線;

2)解:連接OD,作OFBDF,如圖2所示:

OBOD,∠B30°,∴∠ODB=∠B30°,

∴∠DOB120°,

∵∠C90°,∠CAD=∠B30°,

CDAC1,BCAC3

BDBCCD2,

OFBD,

DFBFBD1OFBF,

OB2OF,

∴劣弧BD與弦BD所圍陰影部分的面積=扇形ODB的面積﹣ODB的面積=

3)解:∵∠CAD=∠B,∠C=∠C

∴△ACD∽△BCA,

,

AC2CD×BCCDCD+BD),

42CDCD+6),

解得:CD2,或CD=﹣8(舍去),

CD2,

AD,

,

AB4

ODAD,

∴在RtAOD中,AD2 +OD2 =OA2,

∴設⊙O的半徑為x,則OA=4-x,

(2) 2+x2=(4-x) 2,

,

AE=AB-BE=4-3=;

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB90°,AC3,BC4,點DAB邊上一點,且AD1,點P從點C出發(fā),沿射線CA以每秒1個單位長度的速度運動,以CP、DP為鄰邊作CPDE.設CPDE和△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點P的運動時間為t(秒)(t0

1)連結CD,求CD的長;

2)當CPDE為菱形時,求t的值;

3)求St之間的函數(shù)關系式;

4)將線段CD沿直線CE翻折得到線段C′D′.當點D′落在△ABC的邊上時,直接寫出t的值.

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【題目】 如圖,點EF分別為正方形ABCD的邊BC、CD上一點,AC、BD交于點O,且∠EAF45°,AE,AF分別交對角線BD于點M,N,則有以下結論:①AOM∽△ADF;②EFBE+DF;③∠AEB=∠AEF=∠ANM;④SAEF2SAMN,以上結論中,正確的個數(shù)有(。﹤.

A. 1B. 2C. 3D. 4

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【題目】如圖,已知⊙O的半徑為5,弦AB,CD所對的圓心角分別是∠AOB,∠COD,下列說法正確的是( )①若∠AOB=∠COD,則CDAB;②若CDAB,則CD,AB所對的弧相等;③若CDAB,則點OCD,AB的距離相等;④若∠AOB+∠COD180°,且CD6,則AB8

A.①②③④B.①③④C.①②④D.③④

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【題目】已知:△ABC與△ABD中,∠CAB=∠DBAβ,且∠ADB+∠ACB180°

提出問題:如圖1,當∠ADB=∠ACB90°時,求證:ADBC;

類比探究:如圖2,當∠ADB≠ACB時,ADBC是否還成立?并說明理由.

綜合運用:如圖3,當β18°BC1,且ABBC時,求AC的長.

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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知C3,4),以點C為圓心的圓與y軸相切.點A、Bx軸上,且OAOB.點P為⊙C上的動點,∠APB90°,則AB長度的最大值為_____

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【題目】已知拋物線yax2+3b+1x+b3a0),若存在實數(shù)m,使得點Pm,m)在該拋物線上,我們稱點Pm,m)是這個拋物線上的一個和諧點

1)當a2,b1時,求該拋物線的和諧點;

2)若對于任意實數(shù)b,拋物線上恒有兩個不同的和諧點A、B

求實數(shù)a的取值范圍;

若點A,B關于直線y=﹣x﹣(+1)對稱,求實數(shù)b的最小值.

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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點的坐標為,點在第一象限,,點上一點,,

1)求證:;

2)求的值.

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