【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB90°,AC3BC4,點(diǎn)DAB邊上一點(diǎn),且AD1,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CA以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),以CP、DP為鄰邊作CPDE.設(shè)CPDE和△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)(t0

1)連結(jié)CD,求CD的長;

2)當(dāng)CPDE為菱形時(shí),求t的值;

3)求St之間的函數(shù)關(guān)系式;

4)將線段CD沿直線CE翻折得到線段C′D′.當(dāng)點(diǎn)D′落在△ABC的邊上時(shí),直接寫出t的值.

【答案】1CD=;(2t;(3S;(4)滿足條件的t的值為ss

【解析】

1)過點(diǎn)DDFAC于點(diǎn)F.如圖1中.求出DF,CF,利用勾股定理即可解決問題.

2)當(dāng)為菱形時(shí),如圖2中,連接BPCDO.證明COP∽△BCP,推出=,由此構(gòu)建方程即可解決問題.

3)分三種情形:當(dāng)0<t時(shí),如圖3中,重疊部分是四邊形PCED.當(dāng)<t3時(shí),如圖4中,重疊部分是四邊形PCFD.當(dāng)t>3時(shí),如圖 5中,重疊部分是四邊形ACFD,分別求解即可解決問題.

4)分兩種情形分別畫出圖形求解即可.

解:(1)過點(diǎn)DDFAC于點(diǎn)F.如圖1

RtABC中,∠ACB=90°

AB===5,

DFBC,

∴△AFD∽△ACB

==

==,

AF=,DF=,

CF=ACAF=3=

RtCDF中,∠CFD=90°

CD===

(2)當(dāng)為菱形時(shí),如圖2中,連接BPCDO

∵四邊形PCED是菱形,

PD=PC

BD=BC=1,

PB垂直平分線段CD,

∴點(diǎn)E在直線PB上,

∵∠CPO+PCO=90°,∠CPB+PBC=90°

∴∠PCO=PBC,∵∠POC=PCB,

∴△COP∽△BCP,

=

=

t=

(3)當(dāng)0<t時(shí),如圖3中,重疊部分是四邊形PCED

S=t=t

當(dāng)<t3時(shí),如圖4中,重疊部分是四邊形PCFD

S=(4×+t)=t+

當(dāng)t>3時(shí),如圖 5中,重疊部分是四邊形ACFD,

S=(4×+3)=

綜上所述,S=

4)如圖6中,當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí),延長CEABO,

易知OCAB,OC=AO=

OD=OAAD=,

DEAC,

=,

=,

DE=,

此時(shí)t=,

如圖7中,當(dāng)點(diǎn)D′落在BC上時(shí),延長DEBCF,作OMBCM,ONCDN

∵∠DCO=OCB,ONCD,OMCB,

ON=OM,

SDCB=SCDO+SBCO,

×4×=××ON+×4×OM,

OM=

OMAC,

=

BM=,CM=

EFOM,

=,可得EF=

CP=DE==,

此時(shí)t=,

綜上所述,滿足條件的t的值為ss

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2)設(shè)每月獲得利潤為(元),求每月獲得利潤(元)關(guān)于銷售單價(jià)(元)的函數(shù)解析式;

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