【題目】如圖,等腰三角形△ABC的腰長AB=AC=25,BC=40,動點P從B出發(fā)沿BC向C運動,速度為10單位/秒.動點Q從C出發(fā)沿CA向A運動,速度為5單位/秒,當一個點到達終點的時候兩個點同時停止運動,點P′是點P關于直線AC的對稱點,連接P′P和P′Q,設運動時間為t秒.
(1)若當t的值為m時,PP′恰好經(jīng)過點A,求m的值;
(2)設△P′PQ的面積為y,求y與t之間的函數(shù)關系式(m<t≤4) ;
(3)是否存在某一時刻t,使PQ平分角∠P′PC?存在,求相應的t值,不存在,請說明理由.
【答案】(1)m=s;(2)y=78t2﹣504t+768(<t≤4);(3)存在,t=2時,PQ平分角∠P′PC .
【解析】
試題(1)由∠C的余弦定義既在Rt△APC,又可在Rt△ACM中列出比例式,二者相等,構建方程,求出m;
(2)由△PCN∽△ACM,可表示出PC=40﹣10t,PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t,代入面積公式,即可得y=PP′NQ=78t2﹣504t+768;
(3)利用∠C的正弦有兩種表示的比例式,二者相等,可列出方程,求出t.
試題解析:(1)如圖1中,作AM⊥BC于M.
∵AB=AC=25,AM⊥BC,
∴BM=MC=20,
在Rt△ABM中,AM= =15,
當PP′恰好經(jīng)過點A,∵cos∠C= ,
∴,
∴t= ,
∴m= s;
(2)如圖2中,設PP′交AC于N.
當 <t≤4時,由△PCN∽△ACM,可得PC=40﹣10t,PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t,
∵CQ=5t,
∴NQ=CN﹣CQ=32﹣13t,
∴y= PP′NQ= (48﹣12t)(32﹣13t)=78t2﹣504t+768( <t≤4);
(3)存在.理由如下:
如圖3中,作QE⊥BC于E.
∵PQ平分∠CPP′,QE⊥PC,QN⊥PP′,
∴QN=QE,
∵sin∠C=,
∴
∴t=2,
∴t=2時,PQ平分角∠P′PC.
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【題目】京張高鐵是2022年北京冬奧會的重要交通保障設施.如圖,京張高鐵起自北京北站,途經(jīng)清河、沙河、昌平等站,終點站為張家口南站,全長174千米.根據(jù)資料顯示,京張高鐵在某次測試中的平均時速是現(xiàn)運行的京張鐵路某字頭列車平均時速的6倍,全程行駛時間減少了122分鐘,且每站(不計起始站和終點站)?康钠骄鶗r間也減少了3.5分鐘.請求出此次測試中京張高鐵的平均時速是多少.
(注:平均時速的測算公式為)
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【題目】圖l、圖2均為8×6的方格紙(每個小正方形的邊長均為1),在方格紙中各有一條線段AB,其中點A、B均在小正方形的頂點上,請按要求畫圖:
(1)在圖l中畫一直角△ABC,使得tan∠BAC=,點C在小正方形的頂點上;
(2)在圖2中畫一個□ABEF,使得□ABEF的面積為圖1中△ABC面積的4倍,點E、F在小正方形的頂點上.
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【題目】如圖,點C為線段AB上一點,△ACD、△CBE都是等邊三角形,AE交DC于點M,BD交CE于點N,下列說法一定正確的是________(請把你認為正確答案的序號填在橫線上)
①AE=BD;②∠AEC=∠BDC;③AM=DN;④DM=CN;⑤CM=MN;⑥MN∥AB.
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【題目】下列判斷中正確的有( 。﹤
(1)直角三角形的兩邊為3和4,則第三邊長為5
(2)有一個內角等于其它兩個內角和的三角形是直角三角形
(3)若三角形的三邊滿足b2=a2﹣c2,則△ABC是直角三角形
(4)若△ABC中,∠A:∠B:∠C=8:15:17,則△ABC是直角三角形
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD,延長AD到E,使DE=AD,連接BE與DC交于O點.
(1)求證:△BOC≌△EOD;
(2)當△ABE滿足什么條件時,四邊形BCED是菱形?證明你的結論.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)請在圖中,畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1;
(2)以點O為位似中心,將△ABC縮小為原來的,得到△A2B2C2,請在圖中y軸右側,畫出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【題目】如圖,CD為⊙O的直徑,弦AB交CD于點E,連接BD、OB.
(1)求證:△AEC∽△DEB;
(2)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求⊙O的半徑.
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