Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作直線CD⊥AB于點D，E是AB上一點，直線CE與⊙O交于點F，連結(jié)AF，與直線CD交于點G．

求證：（1）∠ACD=∠F； （2）AC2=AG·AF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）本題可構(gòu)建相等的中間角通過轉(zhuǎn)換來求解，連接BC，根據(jù)圓周角定理得∠ABC=∠F，根據(jù)同角的余角相等得∠ACD=∠ABC，由此可得證．

（2）本題實際求的是三角形ACG和AFC相似，已知了一個公共角，而（1）中又證得了∠ACD=∠F，由此可得出兩三角形相似，根據(jù)相似三角形即可得出所求的比例關(guān)系．

試題解析：證明：（1）連接BC，則∠ACB=90°，∠ABC=∠F．∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ACD=∠F．

（2）由（1）得出的∠ACD=∠F．又∵∠CAG=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴ ，∴AC2=AGAF．