【題目】如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),∠BCD=60°,射線AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,射線BP交DE于點(diǎn)K,點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),作BM⊥AE于點(diǎn)M,作KN⊥AE于點(diǎn)N,連結(jié)MO、NO,以下四個(gè)結(jié)論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN= ;③BP=4PK;④PMPA=3PD2 , 其中正確的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
【答案】B
【解析】解:作PI∥CE交DE于I,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AD∥BC,
∴∠DAP=∠CEP,∠ADP=∠ECP,
在△ADP和△ECP中,
,
∴△ADP≌△ECP,
∴AD=CE,
則 ,又點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),
∴ = ,
∵AD=CE,
∴ = ,
∴BP=3PK,
故③錯(cuò)誤;
作OG⊥AE于G,
∵BM丄AE于M,KN丄AE于N,
∴BM∥OG∥KN,
∵點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),
∴MG=NG,又OG⊥MN,
∴OM=ON,
即△MON是等腰三角形,故①正確;
由題意得,△BPC,△AMB,△ABP為直角三角形,
設(shè)BC=2,則CP=1,由勾股定理得,BP= ,
則AP= ,
根據(jù)三角形面積公式,BM= ,
∵點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),
∴PB=3PO,
∴OG= BM= ,
MG= MP= ,
tan∠OMN= = ,故②正確;
∵∠ABP=90°,BM⊥AP,
∴PB2=PMPA,
∵∠BCD=60°,
∴∠ABC=120°,
∴∠PBC=30°,
∴∠BPC=90°,
∴PB= PC,
∵PD=PC,
∴PB2=3PD,
∴PMPA=3PD2 , 故④正確.
故選B.
根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等,根據(jù)全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP,由相似三角形的性質(zhì)得到AD=CE,作PI∥CE交DE于I,根據(jù)點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)證明CE=2PI,BE=4PI,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 = ,得到BP=3PK,故③錯(cuò)誤;作OG⊥AE于G,根據(jù)平行線等分線段定理得到MG=NG,又OG⊥MN,證明△MON是等腰三角形,故①正確;根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出∠OMN= ,故②正確;然后根據(jù)射影定理和三角函數(shù)即可得到PMPA=3PD2 , 故④正確.
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根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)求本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù).
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)若該校共有1600名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)全校選擇體育類的學(xué)生人數(shù).
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(1)當(dāng)t=2時(shí),①AB= ___ cm.②求線段CD的長(zhǎng)度.
(2)用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AB的長(zhǎng).
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,若AB中點(diǎn)為E,則EC的長(zhǎng)是否變化?若不變,求出EC的長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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(2)求△OAB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
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