Question

已知，如圖1，等腰直角△ABC中，AC=BC，等腰直角△CDE中，CD=DE，AD∥BC，CE與AB相交于點F，AB與CD相交于點O，連接BE．
（1）求證：F為CE中點；
（2）如圖2，過點D作DG⊥BE于G，連接AE交DG于點H，連接HF，請?zhí)骄烤�段HF與BC之間的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）首先得出△AOD∽△CDF，進而得出△AOC∽△DOF，進而得出∠CFD=90，即可得出CF=EF；
（2）首先證明△EBC≌△KAC（SAS），進而得出DH∥AK，則

ED

DK

=

EH

HA

，故EH=EA，HF∥AC，H F=

1

2

AC，再利用BC=AC，得出H F=

1

2

BC，再利用平行線的性質(zhì)得出HF⊥BC．

解答：（1）證明：如圖1，連接DF∞
∵AD∥BC，∴∠DAO=∠ABC=45°，
又∵∠DCF=45°，∴∠DAO=∠DCF，
又∵∠AOD=∠COB，
∴△AOD∽△CDF，
∴

AO

CO

=

OD

OF

，
∴

OA

OD

=

OC

OF

，
又∵∠AOC=∠DOF，
∴△AOC∽△DOF，
∴∠CAO=∠CDF=45°
∴∠CFD=90，
又∵CD=DE，
∴CF=EF；
                               
（2）H F=

1

2

BC，HF⊥BC．
如圖2，過C作CE的垂線交ED的延長線于K，連接KA，
∵∠DEC=45°，KC⊥CE，
∴∠CKE=45°，
∴KC=CE，
∵∠KCE=∠KCA+∠ACE=90°，∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠KCA=∠BCE，
在△EBC和△KAC中

BC=AC ∠BCE=∠ACK CE=KC

，
∴△EBC≌△KAC（SAS），
∴∠CKA=∠CEB
∴∠CKD=45°，即∠CEB+∠AKD=45°
又∵DG⊥BE∴∠DGE=90°
∴∠DEG+∠DGE=90°，
又∵∠DEC=45°，
∴∠EDG+∠BEC=45°，
∴∠AKD=∠GDE，
∴DH∥AK，∴

ED

DK

=

EH

HA

，
∴EH=EA，∴HF∥AC，H F=

1

2

AC
又∵BC=AC，∴H F=

1

2

BC．
延長HF交BC于點N，
∵HN∥AC，AC⊥BC，
∴∠ACB=∠HNB=90°
∴HF⊥BC．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練應用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△AOC∽△DOF是解題關(guān)鍵．